Darboux Gaston

En 1866, en France, Gaston Darboux devient docteur ès sciences mathématiques. Sa carrière le conduit de l'École normale supérieure à la Faculté des sciences de Paris, où il enseigne la mécanique rationnelle puis la géométrie supérieure.

Son nom reste attaché à une façon d'approcher l'aire sous une courbe. On l'encadre avec des rectangles trop bas et trop hauts. En resserrant cet encadrement, les deux estimations peuvent conduire à la même valeur : l'intégrale de Darboux.

Jean Gaston Darboux (1842-1917) est un mathématicien français dont les travaux relèvent principalement de l'analyse et de la géométrie différentielle. En analyse, la source mentionne l'intégration et les équations aux dérivées partielles. En géométrie différentielle, elle souligne l'étude des courbes et des surfaces.

L'intégrale de Darboux s'applique à une fonction bornée sur un intervalle découpé en sous-intervalles. Sur chacun, la somme inférieure retient l'infimum de la fonction, tandis que la somme supérieure retient son supremum, sans supposer que ces bornes sont atteintes. Chaque borne est multipliée par la largeur du sous-intervalle. Si les meilleurs encadrements inférieur et supérieur coïncident, leur valeur commune définit l'intégrale de Darboux.

La carrière donnée par la source suit plusieurs étapes distinctes : docteur en 1866, maître de conférences à l'École normale supérieure, suppléant en mécanique rationnelle de 1873 à 1878, puis suppléant en géométrie supérieure de 1878 à 1880. Darboux devient titulaire de cette dernière chaire à partir de 1881, après Michel Chasles.

Considérons la fonction qui associe à chaque nombre x ce même nombre x, sur l'intervalle de 0 à 1. Les données sont la fonction $f(x)=xf(x)=x$, l'intervalle [0 ; 1] et quatre sous-intervalles de largeur 1/4.

1. Sur les quatre sous-intervalles, les plus petites valeurs sont 0, 1/4, 1/2 et 3/4.

2. La somme inférieure vaut $L=\frac{1}{4}(0+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4})=\frac{3}{8}L=\backslash frac14(0+\backslash frac14+\backslash frac12+\backslash frac34)=\backslash frac38$.

3. Les plus grandes valeurs sont 1/4, 1/2, 3/4 et 1. La somme supérieure vaut $U=\frac{1}{4}(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+1)=\frac{5}{8}U=\backslash frac14(\backslash frac14+\backslash frac12+\backslash frac34+1)=\backslash frac58$.

4. L'aire cherchée est donc encadrée entre 3/8 et 5/8. Des découpages toujours plus fins resserrent cet encadrement vers 1/2.

Le résultat est 1/2 unité d'aire. Le contrôle est immédiat : l'écart entre les deux sommes calculées vaut 5/8 − 3/8 = 1/4, exactement la largeur commune des quatre sous-intervalles.

Pour situer Gaston Darboux dans l'histoire des mathématiques, on peut suivre ses chaires parisiennes : mécanique rationnelle d'abord, puis géométrie supérieure. Le passage à cette seconde chaire marque le domaine auquel la source associe ses recherches sur les courbes et les surfaces.

En analyse réelle, les sommes de Darboux donnent un geste vérifiable : encadrer une aire par défaut et par excès. Lorsque l'on veut contrôler l'approximation, on compare l'écart entre la somme supérieure et la somme inférieure.

Devant le nom « Darboux », le contexte tranche. Une intégrale ou des sommes renvoient ici à l'analyse ; des courbes et des surfaces renvoient à la géométrie différentielle étudiée par le mathématicien.

Gaston Darboux et Michel Chasles. Ce sont deux personnes distinctes. Le critère donné par la source est la succession à la chaire de géométrie supérieure : Darboux en devient titulaire à partir de 1881 après Michel Chasles.

Intégrale de Darboux et ensemble des travaux de Darboux. L'intégrale appartient au versant analytique de son œuvre. La mention de courbes ou de surfaces signale plutôt les travaux de géométrie différentielle également attribués au mathématicien.

Fonction bornée ne signifie pas automatiquement intégrable. Si les encadrements supérieur et inférieur ne peuvent pas être amenés à une même valeur, la construction ne fournit pas d'intégrale de Darboux. Il faut donc vérifier la coïncidence des deux bornes, pas seulement l'existence d'un majorant et d'un minorant.

Une somme isolée reste une approximation. Dans l'exemple à quatre sous-intervalles, 3/8 et 5/8 encadrent le résultat mais aucune de ces deux valeurs n'est l'intégrale. Leur écart de 1/4 indique précisément ce que le découpage laisse encore indéterminé.

Les dates ne décrivent pas une seule fonction. De 1873 à 1878, Darboux est suppléant en mécanique rationnelle ; de 1878 à 1880, il est suppléant en géométrie supérieure ; il devient titulaire de cette dernière chaire à partir de 1881. Les regrouper effacerait les changements de poste donnés par la source.

L'article Gaston Darboux, l'artiste géomètre prolonge le portrait par son versant géométrique.

L'article L'émergence des fonctions discontinues replace l'intégrale de Darboux dans un contexte analytique directement lié aux fonctions discontinues.