groupe classique

Imaginez un carré dont un sommet est placé à l’origine et que l’on fait tourner autour de l’origine. Ses sommets changent de place, mais ses longueurs et ses angles restent les mêmes. Cette rotation est une transformation linéaire inversible : on peut toujours tourner en sens contraire pour revenir au carré initial.

Les groupes classiques rassemblent de telles transformations selon ce qu’elles préservent. Certaines gardent seulement la structure linéaire, d’autres conservent aussi un déterminant, une forme symétrique, une forme alternée ou une structure unitaire.

Un groupe classique est une famille de transformations inversibles issue de l’algèbre linéaire. Pour un espace vectoriel de dimension n sur un corps k, le groupe linéaire général GL(n, k) réunit tous ses automorphismes, c’est-à-dire toutes ses transformations linéaires inversibles. Le groupe spécial linéaire SL(n, k) ne conserve que celles dont le déterminant vaut 1.

D’autres familles sont définies par une structure préservée. Après avoir fixé une forme bilinéaire symétrique non dégénérée b sur l’espace V, le groupe orthogonal O(V, b) rassemble les automorphismes qui la conservent. Le groupe symplectique Sp(2n, k) conserve une forme bilinéaire alternée non dégénérée ; sa notation fait apparaître une dimension paire, 2n. Sur un corps muni d’une involution, après avoir fixé une forme hermitienne non dégénérée h, le groupe unitaire U(V, h) rassemble les automorphismes qui la conservent ; sur ℂ avec la forme hermitienne standard, on le note U(n).

Ces familles admettent des variantes, notamment affines ou projectives unimodulaires. Introduit par Hermann Weyl (1885–1955), ce langage organise des objets centraux en théorie des représentations, en géométrie différentielle et en physique mathématique.

La construction repose sur quatre données liées. Un corps k fournit les scalaires. Un espace vectoriel de dimension n fournit les vecteurs transformés. Des automorphismes donnent les transformations admissibles et leur composition fournit la loi de groupe. Enfin, une condition de préservation sélectionne éventuellement une famille plus étroite.

Sans condition supplémentaire, on obtient GL(n, k). Imposer un déterminant égal à 1 sélectionne SL(n, k). Fixer une forme bilinéaire symétrique ou alternée non dégénérée conduit respectivement aux groupes orthogonal ou symplectique. Sur un corps muni d’une involution, fixer une forme hermitienne non dégénérée et imposer sa préservation conduit au groupe unitaire correspondant, noté U(V, h), ou U(n) sur ℂ pour la forme standard. Le choix du corps, de la dimension et de la structure préservée suffit donc à préciser la famille considérée.

Considérons le plan réel et la transformation qui envoie le premier vecteur de base sur le second, puis le second sur l’opposé du premier. Sa matrice A est donnée par :

1. Le déterminant de A vaut :
La transformation est donc inversible et appartient à GL(2, ℝ).

2. Puisque son déterminant vaut exactement 1, elle appartient aussi à SL(2, ℝ).

3. La transformation est une rotation d’un quart de tour. Le carré dessiné garde ses longueurs et ses angles ; dans le plan euclidien, cette préservation la place également dans le groupe orthogonal O(2, ℝ).

Le contrôle est refaisable : appliquer quatre fois la transformation ramène chaque vecteur à sa position initiale. Une même transformation peut donc appartenir à plusieurs groupes classiques, chaque appartenance exprimant une condition différente.

Pour étudier toutes les transformations linéaires réversibles d’un espace vectoriel, le cadre naturel est GL(n, k). Si le déterminant doit valoir 1, SL(n, k) devient le cadre plus précis.

Lorsqu’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée doit rester inchangée, on se place dans un groupe orthogonal. Si la forme préservée est alternée et non dégénérée, le groupe symplectique est adapté, sur un espace de dimension 2n.

Sur un corps muni d’une involution, notamment ℂ, la préservation d’une structure unitaire conduit au groupe unitaire. Le bon groupe se choisit donc en regardant d’abord la structure que les transformations doivent conserver.

Groupe classique et groupe linéaire général. GL(n, k) est une famille précise, tandis que « groupe classique » est un nom collectif. La matrice de l’exemple appartient à GL(2, ℝ), mais son déterminant égal à 1 permet aussi de la classer dans SL(2, ℝ).

Groupe orthogonal et groupe symplectique. Le critère distinctif est la nature de la forme préservée : symétrique non dégénérée dans le premier cas, alternée non dégénérée dans le second. Le nom de la transformation ne suffit pas ; il faut identifier la forme conservée.

Transformation linéaire et transformation affine. Les groupes affines sont cités comme variantes. Une transformation n’entre pas dans GL(n, k) par ce seul voisinage terminologique : GL(n, k) exige un automorphisme de l’espace vectoriel.

Une énumération dépend de la convention. La définition source annonce six familles principales, mais nomme GL, SL, O, Sp et U avant d’ajouter diverses variantes. Il ne faut donc pas déduire une liste universelle de six noms de cette seule phrase ; il faut préciser la convention de classement employée.

La dimension symplectique est paire dans la notation donnée. Sp(2n, k) agit sur une dimension 2n et préserve une forme alternée non dégénérée. Écrire Sp(n, k) sans annoncer une autre convention rend la dimension ambiguë.

L’inversibilité est indispensable dans GL. Une application linéaire de déterminant nul n’est pas un automorphisme et ne possède pas d’inverse. Elle doit rester hors de GL(n, k), même si sa matrice a la bonne taille.

Une matrice peut satisfaire plusieurs critères. Les familles ne forment pas des cases exclusives. Pour la rotation de l’exemple, l’appartenance à GL(2, ℝ), SL(2, ℝ) et O(2, ℝ) traduit trois propriétés compatibles, non trois identités concurrentes.

Le glossaire Groupe linéaire détaille la famille GL(n, k), cadre de toutes les transformations linéaires inversibles utilisées ici.

La fiche espace vectoriel approfondit le support sur lequel agissent les groupes classiques et le rôle de sa dimension.