AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Symplectique (matrice)
Une matrice symplectique est une matrice carrée réelle (ou complexe) de taille 2n fois 2n qui préserve la forme symplectique standard. Une matrice M est symplectique si M^T J M = J, où J est la matrice symplectique standard formée de blocs 0 et -I, I. Le groupe des matrices symplectiques réelles de taille 2n est le groupe de Lie Sp(2n, R). Les matrices symplectiques ont un déterminant égal à 1 et leurs valeurs propres sont stables par passage à l'inverse. Elles décrivent les transformations canoniques en mécanique hamiltonienne.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la matrice standard J et lire le critère MᵀJM = J.
- Vérifier exactement une matrice 2 × 2 sur un calcul complet.
- Distinguer conservation symplectique, orthogonalité et déterminant 1.
- Relier la notion aux transformations canoniques de la mécanique hamiltonienne.
En clair
Imaginez un petit parallélogramme dessiné dans un plan de position et de mouvement. Une transformation peut l’étirer dans une direction et le resserrer dans une autre. Une matrice symplectique effectue ce changement sans altérer la quantité orientée que mesure la forme symplectique. Dans le plan, cette quantité est l’aire orientée.
Cette conservation est la traduction algébrique d’un changement de variables canonique en mécanique hamiltonienne. La figure de l’exemple montre ainsi un carré devenu oblique, mais toujours d’aire 1.
Définition
Soit un espace de dimension paire 2n sur les nombres réels ou complexes. La forme symplectique standard y est représentée par la matrice J, construite avec la matrice identité I de taille n :
Une matrice carrée M de taille 2n est symplectique lorsqu’elle conserve cette forme. En notant MT la transposée de M, le critère est :
Dans le cas complexe, il s’agit bien de la transposée, et non de la transposée conjuguée.
Les matrices réelles qui satisfont ce critère forment le groupe symplectique Sp(2n, R), qui est un groupe de Lie. Elles sont inversibles, leur déterminant vaut 1 et leur spectre est stable par inversion : si une valeur propre non nulle λ apparaît, 1/λ apparaît aussi, avec la même multiplicité algébrique.
En mécanique hamiltonienne, ce sont les matrices des transformations canoniques linéaires. Elles préservent le couplage entre les coordonnées de position et les coordonnées conjuguées de mouvement, plutôt qu’une longueur ou un angle.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent l’objet. L’entier n fixe la taille paire 2n. La matrice identité I de taille n fournit les blocs non nuls de J. La matrice J encode la forme symplectique standard et associe les deux moitiés des coordonnées. Enfin, la matrice M représente la transformation à tester.
La taille de I dépend de n, puis celle de J impose celle de M. Les trois facteurs MT, J et M doivent donc avoir des dimensions compatibles. Leur produit suffit à décider si M préserve la forme standard. La disposition graphique des coefficients ne définit rien à elle seule : c’est l’identité matricielle complète qui tranche.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan, prenons les vecteurs de base u = (1, 0) et v = (0, 1). La forme standard est donnée par J, et la transformation est donnée par M :
1. On transpose M. Comme cette matrice est symétrique, sa transposée est ici identique à M.
2. On effectue le produit exigé par le critère :
3. L’égalité avec J prouve que M est symplectique. Ses colonnes sont les images de u et v : M u = (2, 1) et M v = (1, 1).
Le contrôle se refait par le déterminant : 2 × 1 − 1 × 1 = 1. Le carré unitaire devient donc un parallélogramme oblique d’aire orientée 1, ce que la figure rend visible.
En pratique
Pour certifier qu’un changement linéaire est canonique en mécanique hamiltonienne, on construit J puis on compare MTJM à J. Une simple matrice inversible suffit si l’on veut seulement changer de coordonnées ; elle ne suffit pas si la forme symplectique doit être conservée.
Pour enchaîner plusieurs transformations canoniques linéaires, on multiplie leurs matrices. Le produit reste symplectique, tout comme l’inverse de chaque transformation. En cas de doute numérique, le résidu entre MTJM et J indique si l’égalité est seulement approchée.
À ne pas confondre
Matrice orthogonale. Elle préserve le produit scalaire et donc les longueurs ; son test est MTM = I. Une matrice symplectique préserve J. La matrice de l’exemple est symplectique, mais elle n’est pas orthogonale puisque sa première colonne a pour longueur √5.
Matrice de déterminant 1. En taille 2, cette condition équivaut au critère symplectique standard. À partir de la taille 4, elle est seulement nécessaire. Par exemple, la matrice diagonale de coefficients 2, 1, 1 et 1/2 a un déterminant 1, mais ne préserve pas le J standard.
Limites et pièges
Le raccourci par le déterminant s’arrête à 2 × 2. En dimension 2, un déterminant égal à 1 suffit. Pour 2n ≥ 4, il faut calculer MTJM ; le seul déterminant peut donner un faux positif.
La convention sur J doit rester cohérente. Certains auteurs emploient l’opposé de la matrice J affichée ici ou ordonnent autrement les coordonnées. Il faut reprendre la même convention dans la définition et dans le test, plutôt que comparer les coefficients isolément.
Sur les nombres complexes, T ne signifie pas l’adjoint. Remplacer la transposée par la transposée conjuguée teste une autre conservation. Le symptôme est l’apparition injustifiée de conjugués ; il faut revenir au produit MTJM.
Les valeurs propres vont par réciproques, sans être toutes égales à 1. Pour la matrice de l’exemple, elles sont (3 + √5)/2 et (3 − √5)/2. Leur produit vaut 1 ; aucune n’est individuellement forcée à valoir son inverse.
Pour aller plus loin
Le groupe de Lie situe Sp(2n, R) parmi les groupes qui possèdent aussi une structure différentielle.
La notion de valeur propre aide à interpréter les paires réciproques du spectre d’une matrice symplectique.
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