AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Groupe spécial unitaire
Le groupe spécial unitaire SU(n) est le groupe des matrices complexes carrées d'ordre n qui sont unitaires (M* M = I, où M* est la transposée conjuguée) et de déterminant 1. C'est un sous-groupe compact connexe du groupe linéaire complexe. SU(2) est isomorphe en tant qu'espace à la sphère S^3 et est le revêtement universel à deux feuillets du groupe SO(3). En physique, SU(2) et SU(3) jouent un rôle central dans le modèle standard des particules élémentaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux conditions qui définissent SU(n).
- Refaire sur une matrice de SU(2) le test d'unitarité et le calcul du déterminant.
- Distinguer SU(n) de U(n) et de SO(n).
- Interpréter correctement le revêtement à deux feuillets de SO(3) par SU(2).
En clair
Imaginez une transformation qui mélange des coordonnées complexes sans modifier leur longueur totale. Sa matrice est unitaire. Parmi ces transformations, celles dont le déterminant vaut exactement 1 forment le groupe spécial unitaire SU(n), où n indique le nombre de coordonnées.
Le mot « groupe » signifie ici que l'on peut enchaîner ces transformations, composer chacune d'elles avec sa transformation inverse pour retrouver l'identité et toujours rester dans le même ensemble.
Définition
Pour un entier n au moins égal à 1, le groupe spécial unitaire SU(n) rassemble les matrices complexes carrées M d'ordre n qui satisfont deux conditions. La première est l'unitarité : la transposée conjuguée de M, notée M*, est aussi son inverse. La seconde impose que le déterminant de M soit égal à 1.
Ces deux conditions s'écrivent , où In est la matrice identité d'ordre n. L'unitarité préserve le produit scalaire hermitien, donc les longueurs et les angles définis à partir de celui-ci. La condition sur le déterminant sélectionne une partie du groupe unitaire U(n).
La multiplication matricielle est la loi du groupe. L'identité In appartient à SU(n), le produit de deux de ses éléments y appartient encore et l'inverse de chacun y appartient aussi. SU(n) est compact et connexe. Pour n = 2, son espace sous-jacent a la forme de la sphère S3 et le groupe fournit un revêtement à deux feuillets de SO(3).
De quoi c'est fait
Un élément de SU(n) comporte d'abord une matrice carrée de n lignes et n colonnes, dont les coefficients sont complexes. Ses colonnes forment une famille orthonormée pour le produit scalaire hermitien ; cette relation entre les coefficients équivaut à M*M = In. Le déterminant condense ensuite l'effet global de la matrice et doit valoir 1.
La taille n fixe à la fois le nombre de coordonnées transformées et les dimensions de la matrice identité utilisée dans le test. Enfin, la multiplication ordonne la composition des transformations, tandis que la transposée conjuguée fournit leur inverse. Ces données suffisent à vérifier l'appartenance à SU(n), à composer deux éléments et à revenir à la configuration initiale.
Un exemple, pas à pas
Prenons n = 2 et la matrice complexe A dont les coefficients diagonaux sont i et −i, les deux autres étant nuls. On veut décider si A appartient à SU(2). Les données sont donc i² = −1 et le conjugué de i égal à −i.
1. On transpose et conjugue les coefficients de A.
2. On multiplie les matrices : , car (−i)i = i(−i) = 1.
3. On calcule le déterminant : det(A) = i × (−i) = 1.
4. Les deux conditions sont remplies, donc A appartient à SU(2).
3. On calcule le déterminant : det(A) = i × (−i) = 1.
4. Les deux conditions sont remplies, donc A appartient à SU(2).
Le contrôle peut être refait sur un vecteur de deux coordonnées complexes : A multiplie la première par i et la seconde par −i, deux nombres de module 1. La somme des carrés de leurs modules reste donc inchangée.
En pratique
Pour tester une matrice complexe, on calcule d'abord M*M. Si le résultat est l'identité, on vérifie ensuite le déterminant. La matrice relève de SU(n) seulement si ce déterminant vaut 1 ; sinon, elle peut encore appartenir au groupe unitaire U(n).
Pour enchaîner deux transformations spéciales unitaires de même ordre, on multiplie leurs matrices. Le produit reste dans SU(n), et la transposée conjuguée permet d'inverser la transformation obtenue.
En physique des particules, les groupes SU(2) et SU(3) interviennent dans le modèle standard. Le choix entre eux dépend du type de symétrie représenté et du nombre de composantes complexes concernées.
À ne pas confondre
Groupe unitaire U(n). Il rassemble toutes les matrices unitaires d'ordre n, sans exiger un déterminant égal à 1. Ainsi, une matrice unitaire de déterminant −1 appartient à U(n), mais pas à SU(n).
Groupe orthogonal spécial SO(n). Ses matrices ont des coefficients réels, leur transposée est leur inverse et leur déterminant vaut 1, tandis que SU(n) autorise des coefficients complexes et utilise la transposée conjuguée. Une rotation réelle de l'espace relève de SO(3) ; SU(2) lui est relié par un revêtement à deux feuillets, sans être le même groupe.
Limites et pièges
Unitarité seule. Obtenir M*M = In ne termine pas le test : le déterminant peut être différent de 1. Il faut calculer séparément ce déterminant avant de conclure à l'appartenance à SU(n).
Cas n = 1. Une matrice unitaire d'ordre 1 peut contenir tout nombre complexe de module 1, mais la condition de déterminant impose ici que ce nombre soit 1. SU(1) se réduit donc à la seule matrice identité.
Le double revêtement de SO(3). Deux éléments distincts de SU(2) correspondent à une même rotation de SO(3). Il ne faut donc pas identifier terme à terme leurs éléments ; la relation est à deux feuillets.
Pour aller plus loin
La fiche Unitaire (matrice) approfondit la condition M*M = In qui constitue le premier test d'appartenance à SU(n).
La fiche Groupe orthogonal aide à situer SO(3), auquel SU(2) est relié par un revêtement à deux feuillets.
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