GéométrieObjet mathématique · Glossaire
Symplectique (espace)
Un espace symplectique est un espace vectoriel de dimension finie paire E muni d'une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée , appelée forme symplectique. La non-dégénérescence signifie que si pour tout v, alors . Tout espace symplectique de dimension 2n admet une base de Darboux dans laquelle la forme symplectique prend une forme standard ; cette base dépend d'un choix et n'est ni canonique ni unique. Les espaces symplectiques sont les espaces naturels de la mécanique hamiltonienne, où représente la structure de phase.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois conditions d'un espace symplectique.
- Vérifier la non-dégénérescence dans un exemple de dimension deux.
- Distinguer cette structure d'un produit scalaire et d'une variété symplectique.
En clair
Imaginez un plan dont deux directions jouent des rôles complémentaires : une position et une impulsion. Une règle prend deux vecteurs, les compare dans cet ordre, puis produit un nombre orienté. Dans le plan symplectique standard, échanger les deux directions change le signe du résultat.
La règle est assez riche pour distinguer toute direction non nulle : aucun vecteur non nul ne reste invisible face à tous les autres. En dimension deux, elle mesure aussi l'aire orientée du parallélogramme construit sur deux vecteurs.
Définition
Un espace symplectique est un espace vectoriel réel E de dimension finie paire, muni d'une forme bilinéaire antisymétrique ω. Bilinéaire signifie que ω est linéaire séparément par rapport à chacun de ses deux arguments ; antisymétrique signifie que . En particulier, .
La forme est non dégénérée lorsque le seul vecteur u vérifiant pour tout vecteur v est le vecteur nul. Cette condition rend l'appariement entre directions suffisamment discriminant. Elle impose que la dimension de E soit paire, que l'on peut écrire 2n lorsque n est un entier naturel, éventuellement nul.
Une base de Darboux est une base adaptée dans laquelle la forme prend sa forme standard : les vecteurs sont regroupés par paires de position et d'impulsion. Cette base existe, mais elle n'est pas unique. En mécanique hamiltonienne, ω fournit la structure géométrique de l'espace des phases ; elle ne constitue pas à elle seule une énergie ni une loi d'évolution.
De quoi c'est fait
La structure comporte deux ingrédients. Le premier est l'espace vectoriel E, qui fournit les vecteurs et l'addition. Le second est la forme symplectique ω, qui associe un nombre à chaque paire de vecteurs. Sa bilinéarité décrit son comportement sous les combinaisons linéaires, et son antisymétrie encode l'effet de l'échange des deux vecteurs.
Dans une base de Darboux, les paires de directions sont indépendantes au sens symplectique : chaque direction de position s'apparie avec la direction d'impulsion correspondante, tandis que les autres appariements de base sont nuls. La non-dégénérescence est la propriété globale qui interdit qu'une direction entière soit orthogonale à toutes les directions pour cette forme.
Un exemple, pas à pas
Prenons E = ℝ² et écrivons un vecteur sous la forme (q, p), où q désigne la première coordonnée et p la seconde. Considérons la forme . Les vecteurs de base eq = (1, 0) et ep = (0, 1) forment la base de Darboux de cet exemple.
1. Échangeons les vecteurs de base : , tandis que . Le signe change, comme l'exige l'antisymétrie.
2. Pour un vecteur u = (q, p), supposons que pour tout v. En choisissant successivement v = eq puis v = ep, on obtient −p = 0 puis q = 0. Donc u = (0, 0) : la forme est non dégénérée.
3. La matrice de ω dans la base (eq, ep) est
Son déterminant vaut 1, ce qui confirme par un calcul matriciel la non-dégénérescence dans cet exemple.
En pratique
Pour reconnaître un espace symplectique, on vérifie d'abord que la dimension est paire, puis que la forme donnée est bilinéaire et antisymétrique. On teste ensuite sa non-dégénérescence, par exemple en calculant le déterminant de sa matrice dans une base.
En mécanique hamiltonienne, les coordonnées de position et d'impulsion sont regroupées dans l'espace des phases. La forme symplectique permet d'écrire les équations du mouvement à partir d'une énergie, mais elle ne remplace pas cette énergie.
À ne pas confondre
Forme symplectique et produit scalaire. Un produit scalaire est symétrique et mesure notamment des longueurs et des angles. Une forme symplectique est antisymétrique : elle donne toujours et encode plutôt une aire orientée ou un appariement entre directions.
Espace symplectique et espace des phases. Un espace symplectique est la structure mathématique formée par E et ω. Un espace des phases est un cadre de description des états d'un système ; il peut recevoir une structure symplectique, mais les deux expressions ne sont pas synonymes dans tous les contextes.
Base de Darboux et base canonique unique. Une base de Darboux met ω sous forme standard. Elle n'est pas une base privilégiée de manière absolue : plusieurs bases peuvent avoir cette propriété.
Limites et pièges
Dimension impaire. Un espace vectoriel réel de dimension impaire ne peut pas porter de forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée. La matrice antisymétrique associée a alors un déterminant nul. Il peut toutefois porter une forme antisymétrique dégénérée.
Forme antisymétrique dégénérée. L'antisymétrie seule ne suffit pas. Sur ℝ², la forme nulle est antisymétrique, mais chaque vecteur est alors invisible pour tous les appariements. Elle ne définit donc pas un espace symplectique.
Vecteurs isotropes. L'égalité ne signifie pas que u est nul. Elle vaut pour tout vecteur par antisymétrie. La non-dégénérescence demande une annulation contre tout vecteur v, ce qui est une condition beaucoup plus forte.
Structure vectorielle et variété. La définition donnée concerne un espace vectoriel de dimension finie. Une variété symplectique généralise cette idée localement, mais elle demande une forme différentielle fermée et non dégénérée ; ces conditions supplémentaires ne doivent pas être attribuées automatiquement à l'espace vectoriel seul.
Pour aller plus loin
La forme symplectique approfondit l'objet ω lui-même : elle permet de préciser ses propriétés d'antisymétrie, de non-dégénérescence et son rôle dans la géométrie symplectique.
À partir d'un espace symplectique, on peut étudier les transformations qui préservent ω, appelées transformations symplectiques. En géométrie différentielle, la même idée se prolonge aux variétés symplectiques, où la structure est définie localement par une forme différentielle.
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