forme bilinéaire alternée

Dans le plan, prenez deux flèches. Une forme bilinéaire alternée leur associe un nombre qui se comporte comme une aire orientée : il change de signe si l’on échange les flèches et vaut zéro si elles sont identiques.

Le mot bilinéaire signifie que l’on peut décomposer les calculs séparément dans chaque flèche. Le mot alternée exprime qu’une flèche comparée à elle-même ne produit rien. Cette idée relie un calcul algébrique à la géométrie des directions.

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Une forme bilinéaire est une application f qui prend deux vecteurs de E, donne un scalaire de K et dépend linéairement de chacun des deux vecteurs lorsque l’autre reste fixé. Elle est alternée lorsque tout vecteur associé à lui-même donne zéro : $f(x,x)=0\text{pour tout }x\in Ef(x,x)=0\backslash quad\backslash text\{pour\; tout\; \}x\backslash in\; E$.

En développant $f(x+y,x+y)=0f(x+y,x+y)=0$, on obtient $f(x,y)=-f(y,x)f(x,y)=-f(y,x)$ : toute forme alternée est antisymétrique. Si la caractéristique du corps est différente de 2, la réciproque est vraie. En caractéristique 2, l’antisymétrie seule ne force pas les valeurs f(x, x) à s’annuler.

La forme est non dégénérée si le seul vecteur x tel que f(x, y) soit nul pour tout vecteur y est le vecteur nul. Une forme alternée non dégénérée est une forme symplectique. En dimension finie, un espace qui en possède une est nécessairement de dimension paire.

Dans le plan réel, on utilise la forme qui mesure l’aire orientée. Données : le premier vecteur est u = (2, 1), le second est v = (1, 3), et la forme associe aux vecteurs (a, b) et (c, d) le nombre suivant.

1. On remplace les coordonnées : $f(u,v)=2\times 3-1\times 1f(u,v)=2\backslash times3-1\backslash times1$.

2. Le calcul donne $f(u,v)=6-1=5f(u,v)=6-1=5$. Le parallélogramme engendré par u et v a donc une aire orientée égale à 5.

3. On échange les vecteurs : $f(v,u)=1\times 1-3\times 2=-5f(v,u)=1\backslash times1-3\backslash times2=-5$. Le signe s’inverse, comme l’exige l’antisymétrie.

Contrôle. Avec deux copies de u, on trouve $f(u,u)=2\times 1-1\times 2=0f(u,u)=2\backslash times1-1\backslash times2=0$. Ce calcul refaisable vérifie directement l’alternance.

Dans le plan, le déterminant de deux vecteurs fournit une forme alternée. Son signe indique leur ordre d’orientation, tandis que sa valeur absolue donne l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent. Si seule une longueur ou un angle est recherché, un produit scalaire est l’outil adapté.

En géométrie différentielle, une forme différentielle de degré 2 associe à chaque point une forme bilinéaire alternée sur les vecteurs tangents. Le geste consiste à évaluer deux directions pour mesurer une quantité orientée locale.

En mécanique hamiltonienne, une forme symplectique relie les variations de position et d’impulsion. La non-dégénérescence est alors décisive : si une direction entière reste invisible à la forme, la structure n’est pas symplectique.

Forme bilinéaire quelconque. La bilinéarité ne suffit pas à donner l’alternance. Le critère est de tester f(x, x) pour tout vecteur x. Le produit scalaire usuel sur le plan réel est bilinéaire, mais un vecteur non nul y a un produit avec lui-même strictement positif.

Forme symplectique. Toute forme symplectique est alternée, mais une forme alternée peut être dégénérée. Sur un espace de dimension impaire, une forme bilinéaire alternée ne peut pas être non dégénérée ; elle n’est donc jamais symplectique.

Caractéristique 2. Dans un corps où 1 + 1 = 0, écrire seulement f(x, y) = −f(y, x) ne garantit pas l’alternance. Il faut vérifier séparément que f(x, x) = 0 pour tout x.

Dégénérescence. L’annulation de f(x, x) ne signifie pas que x est invisible face à tous les autres vecteurs. Pour détecter une dégénérescence, il faut chercher un vecteur non nul x tel que f(x, y) = 0 pour tout y.

Dimension impaire finie. La matrice d’une forme alternée y a un déterminant nul. Le symptôme est l’existence d’une direction non nulle annulée contre toutes les autres ; il faut renoncer à qualifier la forme de symplectique ou changer d’espace.

La fiche forme bilinéaire replace l’alternance parmi les différentes propriétés possibles d’une application linéaire en chacun de ses deux arguments.

La fiche Symplectique (forme) approfondit le cas non dégénéré et explique la structure supplémentaire qu’il apporte.

La fiche Symplectique (espace) présente l’espace vectoriel muni d’une telle forme et le rôle de sa dimension paire.