Symplectique (endomorphisme)

Imaginez une feuille quadrillée dont chaque paire de directions porte une aire orientée. Une transformation peut déplacer, étirer ou tourner les flèches, mais elle est symplectique si elle conserve cette aire pour toutes les paires de flèches. Elle ne déforme donc pas la structure qui mesure les couples de directions, même si les longueurs et les angles changent. Dans le plan, un quart de tour autour de l'origine est un exemple concret : les deux axes deviennent les axes tournés, et l'aire orientée reste la même.

Soit E un espace vectoriel muni d'une forme symplectique ω, c'est-à-dire une forme bilinéaire alternée et non dégénérée. Un endomorphisme f de E est symplectique lorsqu'il conserve cette forme pour toute paire de vecteurs u et v :

Dans le cadre de dimension finie considéré ici, où la dimension de E est 2n, la condition implique que f est inversible : son inverse conserve lui aussi la forme. La composition de deux tels endomorphismes reste symplectique, et l'identité l'est également ; ils forment donc le groupe symplectique Sp(2n). Dans une base adaptée, la matrice A de f vérifie la relation suivante, où J représente la forme symplectique standard :

Tout endomorphisme symplectique a un déterminant égal à 1. Sur le corps des nombres complexes, ses valeurs propres sont organisées avec leurs inverses, en tenant compte des multiplicités ; une valeur propre λ est donc accompagnée de λ⁻¹.

Considérons le plan E = ℝ², muni de la forme standard ω((x,p),(y,q)) = xq − py. On applique la rotation d'un quart de tour, représentée dans la base usuelle par la matrice A.

Les données sont les suivantes : le premier vecteur est u = (1,0), le second est v = (0,1), et la matrice de la transformation est

La première image est Au = (0,1). La seconde image est Av = (−1,0).

Avant transformation, ω(u,v) = 1×1 − 0×0 = 1. Après transformation, ω(Au,Av) = 0×0 − 1×(−1) = 1. Les deux valeurs sont donc égales : la rotation est symplectique. Le contrôle se refait en appliquant la même formule aux deux vecteurs images. La vérification matricielle annoncée se refait aussi directement. Dans la base usuelle, la matrice de la forme est et l'on obtient . Le test matriciel confirme donc, lui aussi, que cette rotation est symplectique.

En mécanique hamiltonienne, les coordonnées de position et de quantité de mouvement forment des couples. Une évolution qui est symplectique conserve la structure de ces couples, ce qui permet de préserver la géométrie pertinente de l'espace des phases.

Pour vérifier une transformation linéaire, on écrit sa matrice dans une base adaptée et on teste A^⊤JA = J. Ce critère est préférable à la seule vérification des longueurs, car une transformation symplectique n'a pas à conserver les distances.

Les transformations canoniques constituent l'alternative adaptée lorsqu'on décrit un changement de coordonnées en mécanique hamiltonienne. Le critère observable est alors la conservation de la forme symplectique, et non celle d'une métrique euclidienne.

Un endomorphisme symplectique ne se confond pas avec une transformation orthogonale. Une transformation orthogonale conserve le produit scalaire, donc les longueurs et les angles ; une transformation symplectique conserve la forme symplectique. La matrice diag(2, 1/2) dans le plan illustre la différence : elle n'est pas orthogonale, mais elle conserve ω((x,p),(y,q)) = xq − py.

Le terme « canonique » n'est pas synonyme de « quelconque changement de coordonnées ». Dans le contexte hamiltonien, il désigne un changement qui respecte la structure symplectique ; le test de conservation de ω tranche le cas.

La dimension d'un espace vectoriel symplectique est nécessairement paire. Si la dimension annoncée est impaire, aucune forme alternée non dégénérée ne peut fournir la structure requise ; il faut changer de cadre ou de dimension.

La phrase sur les valeurs propres se comprend sur un corps où le polynôme caractéristique se décompose, en particulier sur les complexes. Sur les réels, une valeur propre peut ne pas être réelle ; il faut alors considérer les valeurs propres complexes et leurs multiplicités.

Le déterminant égal à 1 est une conséquence, pas un critère suffisant. Dans le plan, diag(2,1/2) a bien un déterminant égal à 1 et est symplectique, mais en dimension supérieure une matrice de déterminant 1 peut ne pas préserver la forme ; il faut vérifier la relation complète avec J.

La fiche Symplectique (forme) permet de préciser l'objet bilinéaire que l'endomorphisme doit préserver. La fiche Symplectique (matrice) prolonge le critère abstrait par son écriture matricielle et ses calculs.