application antisymétrique

Prenons deux flèches du plan et une règle qui leur associe une valeur signée. Si la première flèche devient la seconde et réciproquement, la valeur garde la même taille mais change de signe. Une valeur de 5 devient ainsi −5.

Cette réaction à l’échange caractérise une application antisymétrique. Elle mémorise donc l’ordre des deux entrées : permuter les vecteurs inverse l’orientation exprimée par le résultat.

Soient deux espaces vectoriels E et F sur un même corps de scalaires. Une application f reçoit un couple ordonné de vecteurs de E et renvoie un vecteur de F. Elle est antisymétrique lorsque l’échange des deux vecteurs oppose toujours le résultat. Pour deux vecteurs u et v de E, la condition est :

Cette définition ne suppose pas à elle seule que f soit linéaire. Si f est bilinéaire, elle est linéaire séparément par rapport à chaque entrée. Une application bilinéaire est dite alternée lorsque f(u, u) est nul pour tout vecteur u. Sur un corps où 2 n’est pas nul, antisymétrie et alternance sont équivalentes. En caractéristique 2, l’alternance implique encore la règle d’échange, mais la réciproque peut échouer. Pour une application multilinéaire à plus de deux entrées, l’antisymétrie demande le même changement de signe à chaque échange de deux arguments.

La structure met en jeu cinq éléments. L’espace E fournit les deux vecteurs d’entrée. Leur couple est ordonné : (u, v) et (v, u) sont deux entrées distinctes. L’espace F accueille la valeur, et son addition permet de parler du vecteur opposé. L’application f relie chaque couple à cette valeur. Enfin, la règle d’échange impose que les deux sorties soient opposées.

Le rôle de l’ordre dépend donc de la possibilité de changer le signe dans F. La bilinéarité, lorsqu’elle est présente, ajoute une dépendance linéaire à chaque vecteur, mais elle ne fait pas partie de la définition générale. Ces données suffisent à tester l’antisymétrie en comparant symboliquement f(u, v) et −f(v, u) pour des vecteurs arbitraires.

Dans le plan réel, considérons l’application f qui associe à deux vecteurs le déterminant formé par leurs coordonnées. Prenons le vecteur u de coordonnées (2, 1) et le vecteur v de coordonnées (1, 3). La règle utilisée est :

1. Dans l’ordre (u, v), le premier produit vaut 2 × 3 = 6.
2. Le second produit vaut 1 × 1 = 1 ; ainsi f(u, v) = 6 − 1 = 5.
3. Dans l’ordre (v, u), les produits valent 1 × 1 = 1 et 3 × 2 = 6 ; ainsi f(v, u) = 1 − 6 = −5.
4. Le contrôle donne bien f(u, v) = −f(v, u). En remplaçant les deux entrées par u, on obtient 2 × 1 − 1 × 2 = 0, ce qui confirme aussi l’alternance de cet exemple.

La figure rend visible le parallélogramme construit sur u et v. Sa valeur signée vaut 5 dans l’ordre (u, v), puis −5 après échange.

Dans le plan réel, le déterminant de deux vecteurs sert à suivre une orientation et une aire signée. On choisit cette application lorsque l’ordre des vecteurs doit distinguer deux orientations ; pour mesurer plutôt leur alignement ou leur angle, un produit scalaire répond à une autre question.

Pour étudier une forme bilinéaire, on échange ses deux entrées puis on compare les expressions. Si la seconde est toujours l’opposée de la première, la forme est antisymétrique. Si elle reste identique sans changement de signe, la propriété pertinente est la symétrie.

En algèbre multilinéaire, le même test suit l’effet d’une permutation d’arguments. Un échange unique doit inverser le signe ; plusieurs échanges successifs permettent ensuite de déterminer le signe associé à toute permutation.

Application symétrique. L’échange des entrées conserve la valeur au lieu de l’opposer. Une application donnant 5 dans les deux ordres est symétrique sur ce couple ; une application donnant 5 puis −5 suit le comportement antisymétrique attendu.

Application alternée. Elle s’annule dès que deux arguments sont égaux. Pour une application bilinéaire sur un corps où 2 n’est pas nul, ce critère équivaut à l’antisymétrie. En caractéristique 2, il faut contrôler directement l’annulation sur la diagonale : le seul changement de signe ne suffit plus.

Caractéristique 2. Dans un corps où 1 + 1 = 0, un vecteur et son opposé coïncident. La condition d’antisymétrie devient alors une condition de symétrie. Il faut vérifier séparément que f(u, u) est nul avant de qualifier l’application d’alternée.

Application nulle. Une valeur toujours nulle ne révèle aucune orientation, mais l’application est bien antisymétrique puisque 0 est son propre opposé. L’antisymétrie ne garantit donc pas l’existence de couples donnant une valeur non nulle.

Test incomplet. Observer 5 puis −5 pour un seul couple ne prouve pas une propriété exigée pour tous les couples. Il faut établir l’identité avec des vecteurs arbitraires, ou la déduire d’une expression valable sur tout l’espace.

Valeur vectorielle. Le signe moins désigne l’opposé dans l’espace d’arrivée, pas nécessairement un nombre négatif. Lorsque la sortie est un vecteur, il faut comparer des vecteurs opposés plutôt que leur taille.

L’application alternée approfondit le critère d’annulation lorsque deux arguments coïncident et sa relation avec l’antisymétrie.

L’application bilinéaire précise ce que signifie la linéarité séparée par rapport à chacune des deux entrées.

La forme bilinéaire présente le cas où une application bilinéaire prend ses valeurs dans le corps de scalaires.