application multilinéaire

Prenons deux couples de nombres et multiplions leurs coordonnées deux à deux avant d'additionner les résultats. Si l'on garde un couple fixe, doubler l'autre double la valeur obtenue ; additionner deux couples additionne aussi leurs résultats. Le même constat vaut en échangeant les rôles.

Une application multilinéaire généralise ce comportement à plusieurs entrées : elle est linéaire dans une entrée à la fois. Les autres entrées doivent rester fixées pendant le test.

Soient E₁, E₂, …, E_k et F des espaces vectoriels sur un même corps K. Une application f, définie sur le produit E₁ × E₂ × … × E_k et à valeurs dans F, est multilinéaire lorsqu'elle est linéaire séparément dans chacune de ses k variables.

Précisément, choisissons un indice i, deux vecteurs u_i et v_i de E_i, ainsi que deux scalaires λ et μ de K. Toutes les autres entrées restant fixées, la condition est :

Si l'espace d'arrivée est le corps K lui-même, on parle de forme multilinéaire. Pour deux variables, c'est une forme bilinéaire ; pour trois, une forme trilinéaire. Le déterminant de k vecteurs dans K^k est une forme k-linéaire alternée : échanger deux entrées change son signe, et deux entrées égales donnent zéro.

Une application multilinéaire réunit quatre éléments indispensables. Les espaces d'entrée E₁, …, E_k fournissent chacun un vecteur. Leur produit cartésien rassemble ces k vecteurs en un tuple ordonné. L'espace d'arrivée F reçoit le résultat. Enfin, la règle f associe un unique élément de F à chaque tuple.

Les espaces doivent être définis sur le même corps K, car les mêmes scalaires interviennent dans chaque test de linéarité. Le nombre k fixe le nombre de tests séparés à effectuer. La multilinéarité dépend de la règle et des structures vectorielles, pas du choix d'une base ni de la façon de dessiner les vecteurs. Une fois des bases choisies en dimension finie, des coefficients suffisent à calculer toutes les valeurs de f.

Considérons la forme bilinéaire B qui, à deux vecteurs du plan, associe la somme du produit de leurs premières coordonnées et du double produit de leurs secondes coordonnées. Le schéma décompose ce calcul pour les vecteurs u = (1, 2) et v = (3, −1).

Données.
Premier vecteur : u = (1, 2).
Second vecteur : v = (3, −1).
Règle : $B((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1{y}_1+2x_2{y}_{2}B((x\_1,x\_2),(y\_1,y\_2))=x\_1y\_1+2x\_2y\_2$.

Étape 1. Le produit des premières coordonnées vaut 1 × 3 = 3.

Étape 2. Le double produit des secondes coordonnées vaut 2 × 2 × (−1) = −4.

Étape 3. En additionnant les deux contributions, on obtient B(u, v) = 3 + (−4) = −1.

Contrôle de linéarité. Gardons v fixe et doublons u. La règle donne B((2, 4), v) = 2 × 3 + 2 × 4 × (−1) = −2, soit exactement 2B(u, v). Le même calcul peut être mené en gardant u fixe et en faisant varier v.

Pour vérifier qu'une règle de plusieurs vecteurs est multilinéaire, on fixe toutes les entrées sauf une, puis on teste l'addition et la multiplication par un scalaire. On recommence pour chaque position. Une vérification globale où plusieurs entrées varient ensemble ne suffit pas.

En coordonnées, une forme bilinéaire se calcule souvent à l'aide d'une matrice. Cette écriture est préférable au développement terme à terme quand la dimension augmente ; elle dépend toutefois des bases choisies, contrairement à l'application elle-même.

Pour étudier des aires ou des volumes orientés, le déterminant est l'outil naturel : sa multilinéarité permet de développer un calcul colonne par colonne. Si l'on cherche seulement une mesure de longueur ou d'angle, un produit scalaire, qui est un cas bilinéaire particulier sur un espace réel, apporte la structure supplémentaire adaptée.

Application linéaire. Elle possède une seule entrée vectorielle. Une application bilinéaire a deux entrées et doit être linéaire dans chacune séparément. Ainsi, B(u, v) = u₁v₁ est bilinéaire, mais elle n'est généralement pas linéaire sur l'espace produit pris comme un seul espace vectoriel.

Polynôme homogène. L'expression q(x) = x² est homogène de degré 2, mais elle n'est pas linéaire en x. Elle peut provenir de la diagonale d'une forme bilinéaire, par exemple q(x) = B(x, x), sans être elle-même une application bilinéaire.

Tenseur. Une forme multilinéaire est liée aux tenseurs, mais les deux mots ne sont pas interchangeables sans préciser les espaces et les dualités utilisés. Un tenseur peut notamment être représenté par des composantes qui changent avec les bases, alors que l'objet abstrait ne change pas.

Faire varier plusieurs entrées à la fois. Pour une application bilinéaire B, remplacer simultanément u et v par λu et λv multiplie le résultat par λ², et non par λ. Ce comportement ne contredit pas la bilinéarité : chaque test porte sur une seule variable, les autres restant fixes.

Confondre alternée et antisymétrique. Une forme alternée s'annule dès que deux arguments sont égaux. Pour une forme bilinéaire, cela entraîne l'antisymétrie. La réciproque exige que 2 ne soit pas nul dans le corps ; elle peut échouer en caractéristique 2. Il faut donc vérifier le corps de base.

Une entrée nulle. Si l'une des entrées d'une application multilinéaire est le vecteur nul, le résultat est nul. Ce cas dégénéré découle de la linéarité dans cette position ; il ne signifie pas que l'application entière est nulle.

Cas sans variable. La définition usuelle suppose k ≥ 1. Pour k = 1, une application multilinéaire est simplement linéaire. Certaines théories admettent un cas 0-linéaire identifié à un élément de F, mais cette convention doit être annoncée au lieu d'être supposée.

La fiche forme bilinéaire approfondit le cas à deux variables et ses propriétés spécifiques.

La fiche application linéaire reprend la structure à une seule variable qui est testée séparément dans chaque entrée.

La fiche tenseur ouvre sur la représentation des objets multilinéaires et sur leur comportement lors d'un changement de base.