AlgèbreNotion · Glossaire
Produit tensoriel
Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels V et W est un espace vectoriel V tenseur W muni d'une application bilinéaire canonique, universelle au sens où toute application bilinéaire de V fois W se factorise par elle. Les éléments de V tenseur W sont des combinaisons linéaires de produits tensoriels v tenseur w. Le produit tensoriel est fondamental en algèbre multilinéaire, en physique quantique (produit de systèmes) et en géométrie différentielle (tenseurs).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la propriété universelle du produit tensoriel.
- Développer le produit tensoriel de deux vecteurs dans une base.
- Distinguer produit tensoriel, produit direct, produit scalaire et produit de Kronecker.
- Repérer les précautions propres aux tenseurs non purs et aux modules.
En clair
Prenons deux vecteurs, l’un décrivant un choix dans un premier espace et l’autre un choix dans un second. Le symbole ⊗ les assemble en un nouvel objet, appelé tenseur pur. Cet assemblage est bilinéaire : doubler l’un des vecteurs double le résultat, et additionner avant l’assemblage revient à additionner les assemblages.
L’espace produit tensoriel contient ensuite toutes les combinaisons linéaires de ces objets. Son intérêt est de transformer l’étude d’une opération bilinéaire, qui reçoit deux vecteurs, en celle d’une application linéaire sur un seul espace.
Définition
Soient V et W deux espaces vectoriels sur un même corps K. Leur produit tensoriel est un espace vectoriel, noté , accompagné d’une application bilinéaire canonique qui associe au couple formé par un vecteur v de V et un vecteur w de W le tenseur pur . Les relations de bilinéarité permettent de distribuer ⊗ sur chaque somme et de déplacer un scalaire d’un facteur à l’autre.
La propriété universelle caractérise cet espace : pour tout espace vectoriel X sur K et toute application bilinéaire B de V × W vers X, il existe une unique application linéaire L de vers X telle que :
Cette factorisation ne dépend pas d’un choix de bases. Elle détermine le produit tensoriel à un unique isomorphisme compatible avec l’application canonique près.
Tout élément de est une somme finie de tenseurs purs, mais il n’est pas nécessairement pur lui-même. Si V et W sont de dimensions finies respectives m et n, et si des bases sont choisies, les produits des vecteurs de base forment une base du produit tensoriel. Sa dimension vaut alors mn. La même idée existe pour des modules sur un anneau, avec des phénomènes supplémentaires liés aux scalaires non inversibles.
Un exemple, pas à pas
Dans deux copies de ℝ², choisissons la base (e1, e2) pour la première et la base (f1, f2) pour la seconde. Les données sont les vecteurs u = 2e1 + e2 et w = f1 − 3f2.
1. Distribuons le produit tensoriel par rapport à la somme qui compose u.
2. Distribuons ensuite par rapport aux deux termes de w, puis multiplions les coefficients.
3. Les quatre coefficients sont donc 2, −6, 1 et −3 dans la base formée par les quatre tenseurs . La figure les organise selon le vecteur de départ et montre leur origine.
4. Contrôlons le résultat avec l’application bilinéaire B qui, à deux couples de coordonnées (x1, x2) et (y1, y2), associe x1y1 + x2y2. L’application linéaire induite envoie le développement sur 2 − 3 = −1, comme le calcul direct B((2, 1), (1, −3)) = 2 − 3 = −1.
En pratique
En algèbre multilinéaire, on remplace une application bilinéaire de deux variables par une application linéaire définie sur un produit tensoriel. Ce passage est utile lorsque la linéarité donne accès aux bases, aux matrices et aux calculs de dimension.
En physique quantique, l’espace des états d’un système composé se construit avec le produit tensoriel des espaces associés aux sous-systèmes. Une somme de tenseurs purs peut alors décrire un état qui ne se réduit pas à un choix indépendant dans chaque sous-système.
En géométrie différentielle, les tenseurs combinent des vecteurs et des formes linéaires. On choisit le produit tensoriel lorsque l’objet doit rester linéaire séparément dans plusieurs entrées ; un produit scalaire convient plutôt quand une valeur numérique précise est recherchée.
À ne pas confondre
Produit tensoriel et produit direct. Le produit direct V × W contient des couples (v, w) et conserve séparément les deux composantes. Le produit tensoriel impose les relations bilinéaires : (v + v′) ⊗ w devient v ⊗ w + v′ ⊗ w.
Produit tensoriel et produit scalaire. Un produit scalaire de deux vecteurs rend un scalaire, par exemple −1 dans le contrôle de l’exemple. Le produit tensoriel des mêmes vecteurs rend un élément d’un nouvel espace, décrit ici par quatre coefficients.
Produit tensoriel et produit de Kronecker. Le produit de Kronecker est une opération explicite sur des matrices. Il peut représenter un produit tensoriel après le choix de bases, mais cette représentation matricielle n’est pas la définition intrinsèque de l’espace.
Produit tensoriel et produit extérieur. Le produit extérieur impose en plus l’annulation de v ∧ v et l’antisymétrie. Ainsi, v ⊗ v n’est généralement pas nul, tandis que v ∧ v l’est toujours.
Limites et pièges
Une somme n’est pas toujours un tenseur pur. Dans ℝ² ⊗ ℝ², le tenseur e1 ⊗ f1 + e2 ⊗ f2 ne s’écrit pas comme un seul v ⊗ w. Il faut conserver une somme de termes purs ou rechercher son rang tensoriel.
La décomposition n’est pas unique. Les relations de bilinéarité autorisent plusieurs écritures d’un même élément. Pour comparer deux expressions, il faut les développer dans une même base ou utiliser une application linéaire adaptée, et non comparer terme à terme deux décompositions arbitraires.
Le cadre des modules demande davantage de prudence. Sur un corps, v ⊗ w = 0 implique que v = 0 ou w = 0. Sur un anneau, deux éléments non nuls peuvent donner un tenseur nul. Par exemple, dans le produit tensoriel sur ℤ de ℤ/2ℤ avec ℤ/3ℤ, tout tenseur est nul.
L’ordre des facteurs n’est pas une égalité littérale. Les espaces V ⊗ W et W ⊗ V sont reliés par l’isomorphisme canonique qui envoie v ⊗ w sur w ⊗ v. Il faut appliquer cet échange plutôt que déclarer les deux objets identiques sans préciser l’identification.
Pour aller plus loin
La fiche application bilinéaire approfondit la linéarité séparée dans chaque variable, condition à l’origine de la propriété universelle.
La fiche espace vectoriel reprend les notions de base, de dimension et d’application linéaire utilisées dans la construction.
La fiche tenseur prolonge cette construction vers les objets multilinéaires employés notamment en géométrie et en physique.
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