AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
tenseur
Cette fiche prend pour fil conducteur un cas à deux entrées, repris ensuite dans un calcul pas à pas. Voici d’abord sa formulation précise. Soient E et F deux espaces vectoriels définis sur un même corps commutatif K, E* et F* leurs espaces duaux respectifs. Si Φ est une forme linéaire sur E, donc Φ ∈ E*, et Ψ une forme linéaire sur F, donc Ψ ∈ F*, le produit tensoriel Φ ⊗ Ψ définit canoniquement l'application bilinéaire donnée, pour tout u ∈ E et tout v ∈ F, par : (Φ ⊗ Ψ)(u, v) = Φ(u) · Ψ(v). Ce tenseur appartient à l'espace E* ⊗ F*. De même, pour u ∈ E et v ∈ F, le produit u ⊗ v est un tenseur de E ⊗ F. La notion de tenseur généralise ainsi plusieurs objets mathématiques fondamentaux selon leur ordre : un scalaire est un tenseur d'ordre 0, un vecteur est un tenseur d'ordre 1, et une matrice représente couramment un tenseur d'ordre 2. Dans le cas particulier des tenseurs covariants, un tenseur d'ordre p s'identifie, en dimension finie, à une forme multilinéaire définie sur un produit de p espaces vectoriels ; les tenseurs contravariants ou mixtes comportent aussi des facteurs vectoriels.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l’ordre 0, 1 ou 2 aux scalaires, vecteurs et matrices dans la convention de la fiche.
- Identifier les espaces vectoriels, leurs duaux et les formes nécessaires à un produit tensoriel simple.
- Calculer (Φ ⊗ Ψ)(u, v) sur deux vecteurs du plan et contrôler la linéarité du résultat.
- Distinguer le tenseur de son tableau de composantes, de sa valeur et d’une fonction seulement multivariable.
En clair
Prenons deux flèches du plan. Une première règle transforme la première flèche en un nombre, tandis qu’une seconde règle fait de même avec l’autre. Si chaque règle réagit linéairement, multiplier les deux résultats construit un exemple de tenseur à deux entrées.
Pour les tenseurs covariants étudiés ici, cette construction organise une relation qui dépend de plusieurs vecteurs, séparément et linéairement. Leur ordre compte le nombre d’entrées. Dans la convention plus générale de la fiche, on parle aussi d’ordre 0 pour un scalaire, d’ordre 1 pour un vecteur et d’ordre 2 pour une matrice.
Définition
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K. Leurs espaces duaux, notés E* et F*, rassemblent les formes linéaires qui envoient respectivement les vecteurs de E et de F sur des scalaires de K. Choisissons une forme Φ appartenant à E* et une forme Ψ appartenant à F*.
Pour passer de la définition au calcul, détaillons ce que fait ce produit. Le produit tensoriel Φ ⊗ Ψ appartient à l’espace tensoriel E* ⊗ F* et définit canoniquement une forme sur les couples formés d’un vecteur u de E et d’un vecteur v de F. Sa valeur est le produit des deux évaluations : . L’application obtenue est bilinéaire : elle est linéaire en u lorsque v est fixé, puis linéaire en v lorsque u est fixé. Lorsque E et F sont de dimension finie, cette application canonique identifie E* ⊗ F* à l’espace de toutes les formes bilinéaires sur E × F. De même, deux vecteurs u et v engendrent un tenseur simple u ⊗ v dans E ⊗ F.
Plus généralement, l’ordre indique le nombre total de facteurs vectoriels et duaux : un tenseur de type (r, s) est d’ordre r + s. Dans la convention donnée, un scalaire est d’ordre 0, un vecteur d’ordre 1 et une matrice représente couramment un tenseur d’ordre 2. Dans le cas particulier des tenseurs covariants, un tenseur d’ordre p s’identifie, en dimension finie, à une forme p-linéaire sur un produit de p espaces vectoriels.
De quoi c'est fait
La construction réunit cinq éléments. Le corps K fournit les scalaires. Les espaces E et F fournissent les vecteurs u et v. Leurs duaux E* et F* contiennent les formes linéaires Φ et Ψ. Chaque forme transforme le vecteur de son espace en un scalaire. Enfin, la loi de composition multiplie ces deux scalaires.
Les dépendances sont essentielles : Φ ne peut évaluer que des vecteurs de E, tandis que Ψ agit sur F ; les deux résultats ne se multiplient que parce qu’ils appartiennent au même corps K. Ces données suffisent à construire le tenseur simple Φ ⊗ Ψ et à calculer sa valeur sur chaque couple (u, v). Les coordonnées ou le tracé des vecteurs ne définissent pas le tenseur : ils servent seulement à effectuer un calcul dans des bases choisies.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans deux copies du plan réel. Le même exemple permet de suivre séparément deux évaluations, puis leur produit.
Données.
Le vecteur de E est u = (1, 2).
Le vecteur de F est v = (2, 1).
La forme linéaire Φ est définie par Φ(x, y) = x + 2y.
La forme linéaire Ψ est définie par Ψ(s, t) = 3s − t.
Le vecteur de E est u = (1, 2).
Le vecteur de F est v = (2, 1).
La forme linéaire Φ est définie par Φ(x, y) = x + 2y.
La forme linéaire Ψ est définie par Ψ(s, t) = 3s − t.
1. Évaluer la première forme. En remplaçant x par 1 et y par 2, on obtient .
2. Évaluer la seconde forme. En remplaçant s par 2 et t par 1, on obtient .
3. Multiplier les résultats. La valeur du produit tensoriel sur (u, v) est donc . Le schéma associé matérialise les deux évaluations qui convergent vers cette valeur.
Le résultat est le scalaire 25. Pour contrôler la linéarité dans la première entrée, remplaçons u par 2u = (2, 4). La première évaluation devient 10, donc la valeur du tenseur sur (2u, v) est 10 × 5 = 50, soit exactement deux fois 25.
En pratique
Dans un calcul élémentaire, l’ordre aide à reconnaître la forme des données : un nombre isolé relève de l’ordre 0, une liste de composantes vectorielles de l’ordre 1 et un arrangement à deux indices de l’ordre 2. Si seule une valeur numérique est nécessaire, conserver tout un tableau serait inutile.
En mécanique, un tenseur devient pertinent lorsqu’une relation doit tenir compte de plusieurs directions tout en restant linéaire dans chacune. Si une quantité scalaire dépend linéairement d’une seule direction, une forme linéaire suffit ; avec une sortie vectorielle, il peut plutôt s’agir d’une application linéaire de E vers F. Le nombre et la nature des entrées et des sorties guident donc le choix.
En géométrie différentielle, la formulation multilinéaire permet de combiner plusieurs vecteurs sans attacher la définition à un tableau particulier. Pour effectuer le calcul dans des bases fixées, on emploie les composantes, souvent rangées en matrice à l’ordre 2 ; si les bases changent, il faut transformer ces composantes plutôt que traiter le tableau comme l’objet lui-même.
À ne pas confondre
Tenseur et tableau de nombres. Un tableau donne des composantes dans des bases choisies ; le tenseur est l’objet multilinéaire qu’elles représentent. Si un changement de base modifie les nombres sans modifier la relation évaluée, on observe deux représentations du même tenseur, et non deux tenseurs différents.
Vecteur et forme linéaire. Un vecteur u appartient à E, tandis qu’une forme Φ appartient au dual E* et transforme un vecteur en scalaire. Dans l’exemple, u = (1, 2) est une entrée et Φ(u) = 5 est une valeur : leurs rôles ne sont pas interchangeables.
Produit tensoriel et produit de deux nombres. Φ(u)Ψ(v) est un scalaire obtenu après avoir choisi u et v. À l’inverse, Φ ⊗ Ψ est une application bilinéaire qui peut encore recevoir tous les couples de E × F. Le résultat 25 est donc une valeur du tenseur, pas le tenseur entier.
Limites et pièges
Ordre et dimension. L’ordre compte les entrées linéaires, pas les coordonnées. Le vecteur u = (1, 2) vit dans un espace de dimension 2 mais reste d’ordre 1. Si ces deux nombres sont confondus, il faut recompter les arguments du tenseur.
Tenseur simple et tenseur général. Un seul produit Φ ⊗ Ψ construit un tenseur simple. Un élément général de E* ⊗ F* peut nécessiter une somme de tels produits. Si aucune factorisation en un seul produit ne reproduit toutes les valeurs, il faut conserver cette somme plutôt que forcer un seul produit.
Fonction de plusieurs variables non multilinéaire. Avoir deux entrées ne suffit pas. Chaque entrée doit respecter séparément addition et multiplication par un scalaire. Une dépendance quadratique à u échoue au test lorsque doubler u multiplie la valeur par quatre au lieu de deux ; elle ne définit donc pas un tenseur bilinéaire de ce type.
Entrée nulle. Par linéarité, si u ou v est le vecteur nul, Φ(u) ou Ψ(v) vaut 0 et le produit vaut 0. Une valeur non nulle observée avec une entrée nulle signale que la règle proposée n’est pas bilinéaire ; il faut vérifier sa définition avant de la qualifier de tenseur.
Pour aller plus loin
Produit tensoriel — Pour approfondir la construction qui combine les deux formes linéaires de l’exemple.
espace vectoriel — Pour revoir les vecteurs, les scalaires et les opérations qui fondent la multilinéarité.
espace dual — Pour préciser où vivent Φ et Ψ et comment une forme linéaire agit sur un vecteur.
forme bilinéaire — Pour étudier directement la linéarité séparée dans les deux entrées d’un tenseur d’ordre 2.
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