AlgèbreNotion · Glossaire
forme multilinéaire alternée
Soit E un espace vectoriel sur un corps K et p un entier naturel : une application f : Eᵖ → K est une forme multilinéaire alternée si elle est linéaire en chacun de ses arguments et s'annule dès que deux d'entre eux sont égaux. Cette alternance fait changer le signe quand on échange deux arguments et annule la forme sur tout p-uplet linéairement dépendant ; le déterminant de n vecteurs en dimension n en est le modèle essentiel, mesurant un volume orienté.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la multilinéarité et l'alternance sans les confondre.
- Relier l'échange de deux arguments au changement de signe.
- Calculer puis contrôler un déterminant de valeur 6.
- Reconnaître les cas de dépendance, de dimension insuffisante et de caractéristique 2.
En clair
Imaginez trois flèches qui dessinent les arêtes d'une boîte inclinée. Une forme multilinéaire alternée associe un nombre à ces flèches. Si une flèche s'allonge, le nombre varie dans la même proportion ; si deux flèches échangent leur place, son signe s'inverse.
Deux flèches identiques, ou plus généralement dépendantes, aplatissent la boîte : le nombre devient nul. En dimension trois, le déterminant mesure ainsi un volume orienté. Le signe distingue les deux ordres possibles, tandis que la valeur absolue donne le volume ordinaire.
Définition
Soient E un espace vectoriel sur un corps K et p un entier naturel. Une forme p-linéaire sur E est une application f de Ep vers K, linéaire séparément par rapport à chacun de ses p arguments. Elle est alternée lorsque sa valeur est nulle dès que deux arguments sont égaux.
L'alternance impose le changement de signe lors de l'échange de deux places. Pour deux indices distincts i et j : . Elle impose aussi l'annulation dès que les p vecteurs sont linéairement dépendants. En particulier, toute forme p-linéaire alternée est nulle si p dépasse la dimension de E.
Lorsque E a dimension n et p = n, le déterminant, calculé dans une base fixée, fournit le modèle fondamental. Toute forme n-linéaire alternée est alors un multiple scalaire de ce déterminant. Le scalaire dépend du choix de la forme et la représentation par un déterminant dépend de la base choisie.
Un exemple, pas à pas
Dans l'espace réel à trois dimensions, prenons la forme donnée par le déterminant dans la base usuelle. Les trois vecteurs sont u = (1, 0, 0), v = (1, 2, 0) et w = (0, 1, 3).
1. Plaçons u, v et w dans cet ordre comme colonnes de la matrice :
2. La matrice est triangulaire. Son déterminant est le produit des termes diagonaux : 1 × 2 × 3 = 6. Le parallélépipède associé a donc un volume ordinaire de 6 unités cubes.
3. Échangeons v et w. Une seule transposition inverse l'orientation, donc . Le volume ordinaire reste 6, mais le volume orienté change de signe.
4. Remplaçons enfin w par u + v = (2, 2, 0). Les trois vecteurs sont alors dépendants, car le troisième est la somme des deux premiers. L'alternance et la multilinéarité donnent .
Le contrôle est direct : dans ce dernier déterminant, la troisième colonne est la somme des deux premières, tandis que l'échange de deux colonnes dans le premier calcul conserve la valeur absolue 6.
En pratique
Pour calculer une aire ou un volume orienté, on place les vecteurs comme colonnes d'un déterminant. Une valeur nulle signale un segment, un parallélogramme ou un parallélépipède aplati ; la valeur absolue donne la mesure géométrique.
Pour tester l'indépendance d'autant de vecteurs que la dimension de l'espace, on calcule le déterminant. S'il est non nul, les vecteurs forment une base. S'il est nul, ce test révèle une dépendance, mais n'indique pas à lui seul quelle relation les lie.
Dans les calculs symboliques, l'alternance élimine immédiatement tout terme où un même vecteur occupe deux places. On préfère cette simplification au développement complet dès qu'une répétition ou une dépendance est visible.
À ne pas confondre
Forme multilinéaire quelconque. Elle est linéaire dans chaque argument, sans nécessairement s'annuler lorsque deux arguments coïncident. Par exemple, l'application qui associe au couple (x, y) le produit de leurs premières coordonnées est bilinéaire, mais sa valeur en (x, x) peut être non nulle.
Forme symétrique. Échanger deux arguments conserve sa valeur, alors qu'une forme alternée change de signe. Sur les réels, le produit scalaire vérifie x · y = y · x et donne généralement x · x ≠ 0 : il est symétrique et non alterné.
Déterminant comme nombre. Le déterminant d'une matrice particulière est un scalaire. La forme déterminant est l'application qui reçoit une liste ordonnée de vecteurs et produit ce scalaire ; c'est cette application qui est multilinéaire et alternée.
Limites et pièges
Plus d'arguments que de dimensions. Si p est strictement supérieur à la dimension de E, tout p-uplet est dépendant. La forme p-linéaire alternée est donc nécessairement nulle ; il ne faut pas chercher un exemple non nul dans ce cas.
Caractéristique 2. Dans un corps où 1 + 1 = 0, changer de signe ne modifie pas une valeur, puisque −a = a. L'alternance reste la condition robuste : l'annulation lorsque deux arguments sont égaux doit être conservée explicitement.
Valeur nulle. Pour une forme alternée donnée, la dépendance des arguments entraîne toujours l'annulation. La réciproque n'est pas vraie pour toute forme alternée : une forme identiquement nulle s'annule même sur des vecteurs indépendants. Le déterminant en dimension pleine possède, lui, cette réciproque.
Ordre des vecteurs. Une permutation ne change pas la valeur absolue, mais son signe dépend de la parité de la permutation. Il faut donc fixer l'ordre avant de comparer deux résultats orientés.
Pour aller plus loin
La forme multilinéaire présente le cadre général avant l'ajout de la condition d'alternance.
L'application multilinéaire précise ce que signifie être linéaire séparément dans chacun des arguments.
La forme bilinéaire alternée étudie le cas à deux arguments, où l'annulation sur la diagonale se lit directement.
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