GéométrieNotion · Glossaire
Produit mixte
Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w de l'espace à trois dimensions est le scalaire égal au produit scalaire de u avec le produit vectoriel de v et w. Il est noté [u, v, w] ou u point (v croix w). Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède formé par les trois vecteurs. Le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires. Il change de signe lorsqu'on effectue une transposition de deux vecteurs et est linéaire en chaque vecteur.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le produit mixte au produit scalaire, au produit vectoriel et au déterminant.
- Refaire un calcul complet sur trois vecteurs.
- Interpréter la valeur absolue comme un volume et le signe comme une orientation.
- Tester la coplanarité et reconnaître les limites dues aux coordonnées approchées.
En clair
Imaginez trois flèches partant du même point. Deux dessinent la base d’un parallélépipède, tandis que la troisième lui donne de la hauteur. Le produit mixte associe un nombre à cet assemblage. Sa valeur absolue mesure le volume enfermé.
Le signe indique l’orientation choisie pour ordonner les trois flèches. Si elles restent toutes dans un même plan, aucune hauteur ne se dégage : le volume et le produit mixte valent alors zéro.
Définition
Dans un espace euclidien orienté de dimension trois, soient u, v et w trois vecteurs. Leur produit mixte est le produit scalaire de u par le produit vectoriel de v et w. Il se note [u, v, w].
Cette définition s’écrit , où le déterminant utilise u, v et w comme colonnes dans une base orthonormée directe. Une permutation cyclique conserve la valeur. Échanger seulement deux vecteurs en change le signe. Le produit mixte est linéaire par rapport à chacun de ses trois arguments.
La valeur absolue de [u, v, w] est le volume du parallélépipède engendré par les trois vecteurs. Ce volume est nul exactement quand les vecteurs sont coplanaires. Le signe, lui, dépend de l’orientation de l’espace et de l’ordre des vecteurs ; ce n’est donc pas un volume géométrique signé indépendamment de toute convention.
Un exemple, pas à pas
Dans une base orthonormée directe, on considère les vecteurs u = (1, 2, 0), v = (2, 0, 1) et w = (0, 1, 3). On cherche leur produit mixte, puis le volume du parallélépipède qu’ils engendrent.
1. On calcule d’abord le produit vectoriel de v par w :
2. On effectue ensuite le produit scalaire avec u :
3. Le parallélépipède a donc pour volume |−13| = 13 unités cubes. Le signe négatif indique que l’ordre (u, v, w) donne l’orientation opposée à celle de la base choisie.
Le contrôle se refait avec le déterminant de la matrice ayant u, v et w pour colonnes :
On retrouve bien la même valeur.
En pratique
Pour calculer le volume d’un parallélépipède décrit par trois vecteurs, on prend la valeur absolue du produit mixte. Avec u, v et w de l’exemple, le calcul donne directement 13 unités cubes, sans déterminer séparément une aire de base et une hauteur.
Pour tester si trois vecteurs de l’espace sont coplanaires, on calcule leur produit mixte. Une valeur nulle prouve la coplanarité. Si les coordonnées sont seulement mesurées ou arrondies, une petite valeur non nulle doit être comparée à la précision des données plutôt que traitée comme un verdict exact.
Pour connaître l’orientation d’un triplet ordonné, on conserve le signe du produit mixte. Dans une base orthonormée directe, un signe positif indique la même orientation et un signe négatif l’orientation opposée. Si seul le volume compte, on prend la valeur absolue.
À ne pas confondre
Le produit scalaire combine deux vecteurs et donne un scalaire. Le produit mixte en combine trois. Par exemple, u · v vaut 2 avec les vecteurs de l’exemple, tandis que [u, v, w] vaut −13.
Le produit vectoriel combine deux vecteurs de l’espace orienté et donne un vecteur perpendiculaire aux deux. Le produit mixte ajoute un produit scalaire avec un troisième vecteur et donne un nombre. Ici, v × w = (−1, −6, 2), mais u · (v × w) = −13.
Limites et pièges
Triplet coplanaire. Si [u, v, w] = 0, le parallélépipède est aplati et son volume vaut zéro. Il ne faut pas chercher une orientation tridimensionnelle du triplet ; il faut conclure que les trois vecteurs sont linéairement dépendants dans l’espace.
Ordre des vecteurs. Intervertir u et v transforme −13 en 13 dans l’exemple. Le symptôme est un signe opposé malgré la même valeur absolue. Il faut fixer l’ordre avant le calcul et prendre la valeur absolue seulement si l’on cherche le volume.
Base non orthonormée. Le déterminant des trois colonnes de coordonnées n’est égal au produit mixte euclidien que dans une base orthonormée directe. Dans une autre base, il faut tenir compte de la métrique et de l’orientation, ou convertir les coordonnées dans une telle base.
Données approchées. Avec des coordonnées arrondies, un résultat proche de zéro ne démontre pas à lui seul la coplanarité. Il faut propager l’incertitude ou comparer la valeur obtenue à une tolérance adaptée à l’échelle et à la précision des coordonnées.
Pour aller plus loin
Le produit vectoriel précise la construction du vecteur v × w, sa direction perpendiculaire et le rôle de l’orientation.
Le produit scalaire montre comment la projection de u sur v × w transforme une aire orientée en volume orienté.
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