quadrilatère gauche

Imaginez quatre points reliés à la suite dans l'espace. Trois d'entre eux déterminent un plan, comme une feuille parfaitement plate, mais le quatrième reste hors de cette feuille. Le contour formé par les quatre segments se tord alors dans l'espace : c'est un quadrilatère gauche. Une représentation en perspective peut rendre visible cet écart au plan, même si le dessin lui-même est imprimé à plat.

Un quadrilatère gauche est une ligne polygonale fermée de l'espace formée de quatre sommets ordonnés A, B, C et D, reliés par les côtés AB, BC, CD et DA. Il est gauche lorsque les quatre sommets ne sont contenus dans aucun même plan. Trois sommets non alignés déterminent un plan ; le quatrième doit donc se trouver hors de ce plan.

Avec des coordonnées dans l'espace, la coplanarité se teste à l'aide du produit mixte. Les vecteurs issus de A vers B, C et D sont notés respectivement AB, AC et AD. Les quatre points sont non coplanaires exactement lorsque $\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD})\mathrm{\ne }0\backslash overrightarrow\{AB\}\backslash cdot(\backslash overrightarrow\{AC\}\backslash times\backslash overrightarrow\{AD\})\backslash ne\; 0$. La valeur absolue de ce produit mixte est aussi six fois le volume du tétraèdre ABCD.

Contrairement à un quadrilatère plan, un quadrilatère gauche ne borde pas une région plane unique. Ses diagonales AC et BD ne se rencontrent pas : pour quatre sommets non coplanaires, elles sont deux droites gauches. Le choix de l'ordre des mêmes quatre points détermine toutefois quels segments jouent le rôle de côtés et de diagonales.

On considère les quatre points A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 1) et D(0, 2, 0), reliés dans cet ordre. Le plan passant par A, B et D est le plan d'équation z = 0.

1. Les trois vecteurs issus de A ont pour coordonnées AB = (2, 0, 0), AC = (2, 2, 1) et AD = (0, 2, 0).

2. On calcule d'abord le produit vectoriel de AC par AD : AC × AD = (−2, 0, 4).

3. On effectue ensuite le produit scalaire avec AB : $\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD})=2\times (-2)+0\times 0+0\times 4=-4\backslash overrightarrow\{AB\}\backslash cdot(\backslash overrightarrow\{AC\}\backslash times\backslash overrightarrow\{AD\})=2\backslash times(-2)+0\backslash times0+0\backslash times4=-4$.

Le résultat est non nul : A, B, C et D ne sont pas coplanaires, donc ABCD est un quadrilatère gauche. Le contrôle géométrique est immédiat : A, B et D ont une cote z nulle, tandis que C a pour cote z = 1. Le volume du tétraèdre ABCD vaut |−4|/6 = 2/3 unité cube.

Dans un logiciel de géométrie dans l'espace, une rotation de la vue aide à soupçonner qu'un sommet sort du plan des trois autres. Pour conclure, on préfère toutefois un test de coplanarité sur les coordonnées, car une projection plane peut masquer la profondeur.

Pour construire un modèle en tiges, on peut placer A, B et D, non alignés, dans un même plan, puis surélever C. Le modèle est un quadrilatère plan si C appartient aussi à ce plan ; sinon, son contour est gauche.

Pour représenter une surface tendue sur ce contour, il faut choisir une triangulation. La diagonale AC donne les triangles ABC et ACD, tandis que la diagonale BD donne les triangles ABD et BCD. Ces deux assemblages ont le même bord, mais pas la même surface dans l'espace.

Quadrilatère gauche et quadrilatère plan. Un quadrilatère plan possède quatre sommets dans un même plan ; son produit mixte est nul. Dans l'exemple A, B, C, D, la valeur −4 tranche en faveur du quadrilatère gauche.

Quadrilatère gauche et tétraèdre. Le quadrilatère gauche est le contour à quatre côtés AB, BC, CD et DA. Le tétraèdre construit sur les mêmes sommets comprend six arêtes et quatre faces triangulaires ; les segments AC et BD y sont aussi des arêtes.

Une perspective ne suffit pas. Un dessin plat peut faire paraître quatre points coplanaires ou, au contraire, créer une fausse impression de profondeur. Il faut revenir aux coordonnées, à une équation de plan ou à un produit mixte.

Trois sommets alignés demandent un autre choix. Ils ne déterminent pas un plan unique. Si A, B et C sont alignés, il faut prendre trois sommets non alignés parmi les quatre avant de tester si le dernier appartient à leur plan. Si tous les sommets sont alignés, le produit mixte est nul et le quadrilatère est dégénéré, pas gauche.

Un produit mixte très petit n'est pas toujours une preuve numérique. Avec des coordonnées mesurées ou arrondies, une valeur proche de 0 peut venir des incertitudes. Il faut comparer cette valeur à la précision des données, plutôt que d'exiger une égalité flottante exacte.

Il n'existe pas d'intérieur plan canonique. Relier les quatre côtés ne choisit pas automatiquement une surface. Pour remplir le contour, il faut préciser une triangulation ou une autre surface portée par ce bord.

Le tétraèdre prolonge naturellement l'étude : les quatre sommets non coplanaires du quadrilatère gauche en déterminent un, dont le volume mesure leur écart à la coplanarité.