cerf-volant

Dessinez un segment, puis placez un point de chaque côté. Reliez chacun de ces deux points aux extrémités du segment. Si les deux triangles obtenus sont isocèles, leur contour forme un cerf-volant géométrique.

La droite qui joint les sommets opposés des triangles partage alors la figure en deux moitiés réfléchies. Elle coupe l'autre diagonale à angle droit et en son milieu. Ce pli imaginaire explique aussi les deux paires de côtés voisins de même longueur.

Considérons un quadrilatère non dégénéré ABCD, dont les sommets sont pris dans l'ordre. C'est un cerf-volant lorsque la diagonale AC est un axe de symétrie : les sommets B et D sont l'image l'un de l'autre par cette symétrie. On obtient donc AB = AD et CB = CD. Les triangles isocèles ABD et CBD ont la même base BD et se trouvent de part et d'autre de cette base dans le cas convexe.

La symétrie impose aussi AC ⟂ BD. Si le point O est l'intersection des diagonales, alors BO = OD : la diagonale AC est la médiatrice de BD. En revanche, rien n'impose AO = OC. La figure de l'exemple, avec A(0 ; 4), B(−3 ; 0), C(0 ; −2) et D(3 ; 0), rend visibles ces relations sans suggérer que les deux diagonales se coupent toutes deux en leur milieu.

Le losange est le cas particulier où les quatre côtés ont la même longueur et où les deux diagonales sont axes de symétrie. Les cerfs-volants de Conway prolongent la notion vers les pavages apériodiques : la forme convexe possède trois angles de 72° et un de 144°, tandis que la flèche associée possède deux angles de 36°, un de 72° et un angle rentrant de 216°. Certains auteurs admettent enfin une symétrie oblique ; ils nomment alors cerf-volant isocèle la version classique fondée sur une symétrie axiale orthogonale.

On étudie le quadrilatère ABCD défini par A(0 ; 4), B(−3 ; 0), C(0 ; −2) et D(3 ; 0). Les coordonnées sont exprimées dans la même unité. La diagonale AC est verticale, la diagonale BD est horizontale, et leur intersection est le point O(0 ; 0).

1. Les distances issues du sommet A sont calculées avec les écarts de coordonnées.
2. Le même calcul depuis C donne la seconde paire de côtés égaux.
3. Les directions verticale et horizontale établissent que les diagonales sont perpendiculaires.
4. Enfin, BO = OD = 3, tandis que AO = 4 et OC = 2.

Les deux paires de côtés adjacents sont donc égales et AC est bien l'axe de symétrie : ABCD est un cerf-volant. Le contrôle BO = OD confirme que AC bissecte BD. Comme AO ≠ OC, la diagonale BD ne bissecte pas AC ; cet exemple n'est donc pas un losange.

Pour reconnaître la figure, cherchez d'abord un axe qui passe par deux sommets opposés. Le reflet doit échanger les deux autres sommets. Deux diagonales seulement perpendiculaires ne suffisent pas : dans ce cas, il faut contrôler la symétrie ou les deux paires de côtés adjacents.

Pour construire un cerf-volant, tracez un segment BD, puis sa médiatrice. Choisissez deux points distincts A et C sur cette médiatrice et reliez-les à B et D. Si A et C sont placés de part et d'autre de BD, le contour obtenu est convexe.

Pour contrôler un dessin mesuré, comparez AB à AD et CB à CD en tenant compte de la précision de l'instrument. Une petite différence compatible avec cette précision peut venir du tracé ; un écart net conduit à préférer la description de quadrilatère quelconque.

Un quadrilatère orthodiagonal possède des diagonales perpendiculaires, mais pas nécessairement un axe de symétrie. Si leur point d'intersection n'est le milieu d'aucune des deux diagonales, la figure n'est pas un cerf-volant au sens classique.

Le cerf-volant matériel est un objet volant dont le contour peut varier. Sa silhouette ne constitue un cerf-volant mathématique que si elle forme un quadrilatère doté de la symétrie requise ; une voile triangulaire, par exemple, ne répond pas à cette définition.

La construction par deux triangles suppose une base BD de longueur non nulle et deux sommets A et C distincts. Si B et D coïncident, ou si A et C coïncident, le contour s'écrase et ne forme plus un quadrilatère non dégénéré.

Le losange n'est pas un contre-exemple mais un cas particulier. Dans la configuration symétrique autour de AC, le cas charnière AO = OC rend aussi BD axe de symétrie ; les quatre côtés sont alors égaux. Il faut donc vérifier la seconde symétrie avant d'affirmer qu'une propriété appartient à tout cerf-volant.

Les mots flèche et pointe de flèche varient selon les conventions. Le critère géométrique reste plus sûr : un angle intérieur supérieur à 180° signale une configuration concave. La flèche de Conway, avec son angle de 216°, est concave, tandis que le cerf-volant de Conway aux angles de 72° et 144° est convexe.

Dans l'extension à la symétrie oblique, l'axe ne représente plus une réflexion orthogonale. Les conclusions AC ⟂ BD et BO = OD ne doivent donc pas être transférées automatiquement. Pour employer les propriétés classiques, il faut vérifier que l'auteur parle bien d'un cerf-volant isocèle au sens de la symétrie axiale orthogonale.

Le glossaire Losange précise pourquoi ce cas particulier possède un second axe de symétrie et quatre côtés égaux.

L'article Éblouissants pavages de Penrose montre le rôle des formes de Conway dans des assemblages apériodiques.