hexacontaèdre trapézoïdal

Imaginez une coque fermée couverte de 60 mêmes pièces à quatre côtés. Chaque pièce ressemble à un cerf-volant : deux côtés voisins ont une même longueur, et les deux autres côtés voisins partagent une autre longueur. Une face peut ainsi se lire comme deux triangles isocèles réunis par leur base.

Ces pièces se rejoignent en 120 arêtes et 62 sommets. Cette organisation très régulière forme l’hexacontaèdre trapézoïdal, un solide de Catalan malgré un nom qui évoque à tort des faces trapézoïdales.

L’hexacontaèdre trapézoïdal est un solide de Catalan composé de 60 faces congruentes, c’est-à-dire identiques à déplacement près. Chaque face est un cerf-volant convexe : un quadrilatère possédant deux paires de côtés adjacents égaux. On peut aussi décomposer cette face en deux triangles isocèles accolés par leur base.

Le solide compte 62 sommets et 120 arêtes. Les appellations « hexacontaèdre deltoïdal », « hexacontaèdre tétragonal » et « hexacontaèdre strombique » désignent ici le même polyèdre. Le mot « trapézoïdal » est historique : il ne signifie pas que les faces sont des trapèzes au sens géométrique actuel.

Son dual est le petit rhombicosidodécaèdre, un solide d’Archimède à 62 faces. La dualité échange les rôles des faces et des sommets tout en conservant le nombre d’arêtes : les 60 faces du solide de Catalan correspondent donc aux 60 sommets de son dual, tandis que ses 62 sommets correspondent aux 62 faces du dual.

On veut contrôler que les nombres annoncés sont compatibles avec un polyèdre convexe fermé. Les données sont le nombre de sommets S = 62, le nombre d’arêtes A = 120 et le nombre de faces F = 60. La relation d’Euler attendue est introduite par l’égalité suivante.

1. Additionnez les sommets et les faces : 62 + 60 = 122.
2. Retranchez le nombre d’arêtes : 122 − 120 = 2.
3. Comparez avec la relation d’Euler : $S-A+F=2S-A+F=2$.

Le résultat vaut bien 2 : le triplet de nombres passe ce contrôle nécessaire. Pour refaire la vérification dans l’ordre inverse, calculez 120 − 60 + 2 = 62 ; on retrouve le nombre de sommets. Ce contrôle confirme la cohérence des trois dénombrements, mais il ne suffit pas, à lui seul, à reconstruire la forme du solide.

Pour identifier le solide sur un modèle, observez d’abord une face. Si elle possède deux paires de côtés égaux qui se touchent, puis si les 60 faces ont la même forme, la piste du cerf-volant convexe est pertinente. Une face réellement trapézoïdale écarte cette identification.

Pour contrôler une description ou un fichier 3D, comptez séparément les 60 faces, les 120 arêtes et les 62 sommets. Le calcul 62 − 120 + 60 = 2 détecte une erreur de dénombrement fréquente, sans certifier à lui seul l’assemblage exact.

Pour passer au solide dual, échangez le rôle des faces et des sommets et conservez les arêtes. Ce geste conduit au petit rhombicosidodécaèdre : 62 faces, 60 sommets et 120 arêtes.

Avec un polyèdre à faces trapézoïdales. Le critère décisif porte sur chaque face : celle de l’hexacontaèdre trapézoïdal est un cerf-volant convexe à deux paires de côtés adjacents égaux. Le mot « trapézoïdal » ne décrit donc pas ici un assemblage de véritables trapèzes.

Avec le petit rhombicosidodécaèdre. Les deux solides sont duaux, non identiques. L’hexacontaèdre possède 60 faces et 62 sommets ; le petit rhombicosidodécaèdre possède 60 sommets et 62 faces. Tous deux ont 120 arêtes.

Un comptage cohérent ne prouve pas l’identification. Obtenir 62 − 120 + 60 = 2 écarte certaines erreurs, mais d’autres polyèdres peuvent satisfaire la même relation. Il faut aussi vérifier les 60 faces congruentes en cerf-volant convexe et leur assemblage.

Le cerf-volant doit rester convexe. Deux paires de côtés adjacents égaux ne suffisent pas si le quadrilatère est rentrant ou dégénéré. Dans ce cas, la face ne répond pas à la description donnée et le modèle doit être vérifié ou reconstruit.

La fiche polyèdre replace faces, arêtes et sommets dans le vocabulaire général utilisé pour décrire ce solide.

La fiche polyèdre dual approfondit l’échange entre faces et sommets qui relie les deux solides.

La fiche rhombicosidodécaèdre permet de situer la famille du solide d’Archimède mentionné comme dual.