rhombicosidodécaèdre

Imaginez une coque convexe fermée. Sa surface assemble 20 triangles équilatéraux, 30 carrés et 12 pentagones réguliers, tous de même côté. Autour de chaque coin, on rencontre toujours quatre faces dans le même ordre : un triangle, un carré, un pentagone, puis un second carré.

Cet arrangement très régulier est le rhombicosidodécaèdre. Il compte 62 faces, 120 arêtes et 60 sommets. Le nom « petit rhombicosidodécaèdre » désigne exactement le même solide.

Le rhombicosidodécaèdre est un polyèdre convexe et l'un des treize solides d'Archimède. Ses faces sont des polygones réguliers de même longueur de côté : 20 triangles équilatéraux, 30 carrés et 12 pentagones réguliers. Il possède au total 62 faces, 120 arêtes et 60 sommets. Le nom petit rhombicosidodécaèdre désigne le même solide.

Tous ses sommets sont équivalents par symétrie. Quatre arêtes et quatre faces se rencontrent à chacun d'eux. En faisant le tour d'un sommet, les nombres de côtés des faces successives sont 3, 4, 5 et 4. Cette configuration de sommet se note $\mathrm{3.4.5.4}3.4.5.4$ ; elle signifie triangle–carré–pentagone–carré, et non une multiplication.

Cette organisation est compatible avec une symétrie icosaédrique : des rotations et des réflexions permutent les sommets tout en conservant les incidences entre faces, arêtes et sommets. La combinatoire du solide ne dépend ni de son orientation, ni de sa couleur, ni de son échelle.

On veut contrôler les nombres d'arêtes et de sommets d'un polyèdre convexe. Les données sont 20 triangles, 30 carrés et 12 pentagones ; chaque arête appartient à exactement deux faces ; quatre faces entourent chaque sommet.

1. On compte d'abord les côtés face par face : $20\times 3+30\times 4+12\times 5=24020\backslash times3+30\backslash times4+12\backslash times5=240$ incidences entre une face et une arête.

2. Chaque arête ayant été comptée depuis ses deux faces, le nombre d'arêtes vaut $240÷2=120240\backslash div2=120$. Le schéma rend visible ce double comptage.

3. On utilise ensuite la relation d'Euler pour un polyèdre convexe. Avec le nombre de sommets noté S, 120 arêtes et 62 faces, elle donne $S-120+62=2S-120+62=2$, donc $S=60S=60$.

Contrôle. Les 62 faces portent aussi 240 incidences face–sommet. Comme quatre faces entourent chaque sommet, $240÷4=60240\backslash div4=60$. Les deux calculs indépendants conduisent bien aux 60 sommets annoncés.

Sur une maquette, la signature la plus rapide se lit autour d'un sommet : triangle, carré, pentagone, carré. Si cet ordre se répète à chaque sommet et si toutes les faces sont régulières, la structure correspond au rhombicosidodécaèdre.

Pour contrôler un patron ou un modèle informatique, on compte les faces par type, puis les côtés de toutes les faces. Le total doit être 240 ; le diviser par deux doit donner 120 arêtes. Une autre valeur révèle une incohérence dans les comptes ou les incidences, sans en indiquer à elle seule la cause.

Pour écarter un autre modèle, on observe la ronde locale. Si elle ne contient pas exactement un triangle, deux carrés et un pentagone dans l'ordre annoncé, il faut d'abord vérifier la conformité et l'uniformité du modèle avant de chercher une autre identification du polyèdre.

Avec l'icosaèdre. L'adjectif « icosaédrique » décrit ici la symétrie du rhombicosidodécaèdre ; il ne remplace pas le nom du solide. Parmi les réalisations convexes uniformes à faces régulières, les 62 faces et la ronde locale décrites identifient le rhombicosidodécaèdre.

Avec le petit rhombicosidodécaèdre. Il ne s'agit pas d'un second objet : ce nom est un synonyme exact. Pour une réalisation convexe uniforme à faces régulières, les 62 faces, 120 arêtes, 60 sommets et la configuration 3.4.5.4 correspondent au même solide ; sans ces hypothèses métriques, ces données peuvent seulement décrire son type combinatoire.

Les seuls totaux ne suffisent pas. Une liste de 62 faces, 120 arêtes et 60 sommets ne décrit pas à elle seule la manière dont ces éléments sont raccordés. Il faut aussi vérifier la configuration triangle–carré–pentagone–carré à chaque sommet.

La notation 3.4.5.4 est cyclique. Commencer la lecture par une autre face ou tourner dans l'autre sens peut produire 4.5.4.3 ou 4.3.4.5. Ces écritures décrivent la même ronde locale ; elles ne signalent pas un autre solide.

Une maquette déformée n'est plus uniforme au sens métrique. Si ses faces ne sont plus des polygones réguliers de même côté, elle peut conserver le même raccordement combinatoire sans rester un solide d'Archimède. Il faut alors préciser que l'on parle seulement de son type combinatoire.

Le double comptage suppose une coque fermée. Si une arête borde une seule face, la division de 240 par deux devient invalide. On doit d'abord repérer le bord libre et réparer ou décrire le modèle comme une surface ouverte.

Le solide d'Archimède replace le rhombicosidodécaèdre dans la famille des polyèdres convexes à faces régulières et sommets équivalents.

La formule d'Euler explique le contrôle qui relie ici les 60 sommets, les 120 arêtes et les 62 faces.

L'entrée polyèdre fournit le vocabulaire général des faces, arêtes et sommets employé dans tous les comptages de la fiche.