dodécaèdre adouci

Imaginez un solide presque rond couvert de petits triangles, avec douze pentagones régulièrement répartis. À chaque coin, quatre triangles et un pentagone se rencontrent toujours de la même manière.

Cet assemblage est le dodécaèdre adouci. Il possède une particularité comparable à celle d'une main : sa version gauche et sa version droite sont des images miroir, mais aucune rotation ne permet de les superposer.

Le dodécaèdre adouci, aussi nommé snub dodécaèdre ou dodécaèdre camus, est un polyèdre archimédien convexe. Dans la convention de la source, il est semi-régulier : toutes ses faces sont des polygones réguliers et la même organisation de faces apparaît à chaque sommet. Sa surface réunit 12 pentagones réguliers et 80 triangles équilatéraux, soit 92 faces, pour 150 arêtes et 60 sommets.

Autour de chaque sommet se succèdent quatre triangles équilatéraux et un pentagone régulier. Cette configuration locale se note 3.3.3.3.5, sans que cette écriture fixe à elle seule le sens d'enroulement du solide. L'adoucissement, ou snubbing, peut être appliqué au dodécaèdre régulier ou à l'icosaèdre pour obtenir cette structure.

Le solide est chiral. Il existe donc sous deux formes en miroir, souvent qualifiées de gauche et de droite, qui ne sont pas superposables par déplacement dans l'espace. Aucune des deux ne possède de plan de symétrie.

Retrouvons les 150 arêtes à partir des faces, puis contrôlons la cohérence de l'ensemble des décomptes.

Données.
12 pentagones réguliers de 5 côtés.
80 triangles équilatéraux de 3 côtés.
92 faces et 60 sommets au total.

Étape 1. Les pentagones apportent $12\times 5=6012\backslash times5=60$ côtés de faces. Les triangles en apportent $80\times 3=24080\backslash times3=240$.

Étape 2. Le total vaut $60+240=30060+240=300$. Comme chaque arête du polyèdre fermé borde deux faces, le nombre d'arêtes est $300÷2=150300\backslash div2=150$.

Étape 3. La relation d'Euler pour un polyèdre convexe donne $60-150+92=260-150+92=2$. Le contrôle aboutit bien à 2.

Résultat. Le double comptage confirme exactement 150 arêtes, et la relation d'Euler vérifie ensemble les 60 sommets, 150 arêtes et 92 faces.

Pour identifier une maquette, comptez d'abord les types de faces : seuls des triangles équilatéraux et des pentagones réguliers doivent apparaître. À un sommet quelconque, vérifiez ensuite la rencontre de quatre triangles et d'un pentagone.

Pour contrôler un patron ou un modèle numérique, additionnez les côtés de toutes les faces, puis divisez par deux. Cette méthode est préférable au comptage visuel des arêtes dès que certaines sont cachées.

Pour distinguer les deux formes chirales, choisissez un pentagone et suivez l'enroulement des triangles voisins. Une réflexion inverse ce sens ; une simple rotation le conserve.

Dodécaèdre régulier. Il possède 12 faces, toutes pentagonales, alors que le dodécaèdre adouci possède 12 pentagones et 80 triangles. La présence du moindre triangle tranche immédiatement.

Icosaèdre régulier. Ses 20 faces sont toutes triangulaires. Un solide comportant des pentagones n'est donc pas un icosaèdre régulier, même si l'adoucissement de l'icosaèdre peut mener au dodécaèdre adouci.

Dodécaèdre tronqué. La troncature fait apparaître des triangles et des décagones. L'adoucissement décrit ici produit au contraire des triangles et des pentagones ; la forme des grandes faces fournit le critère décisif.

Une image miroir n'est pas une rotation. Les deux formes chirales ont les mêmes 92 faces, 150 arêtes et 60 sommets. Si le sens d'enroulement s'inverse, aucune rotation ne les superpose ; il faut une réflexion.

Les totaux ne suffisent pas à définir la géométrie. Vérifier 60 − 150 + 92 = 2 contrôle la cohérence combinatoire, mais pas la régularité des faces ni leur ordre autour des sommets. Il faut aussi constater 80 triangles équilatéraux, 12 pentagones réguliers et la configuration 3.3.3.3.5.

« Semi-régulier » dépend de la convention retenue. Ici, le terme suit la définition source et qualifie un polyèdre archimédien. Dans une autre classification, vérifiez les critères annoncés plutôt que de déduire toute la structure de cette seule étiquette.

Une projection plane peut tromper. Un dessin peut sembler posséder un axe de symétrie à cause du point de vue. Pour conclure, examinez le solide entier : aucune de ses deux formes ne possède de plan de symétrie.

La fiche dodécaèdre présente le solide régulier auquel l'adoucissement peut être appliqué.

La fiche icosaèdre éclaire l'autre solide régulier cité comme point de départ de la construction.

L'entrée polyèdre replace faces, arêtes et sommets dans le vocabulaire général des solides.

La formule d'Euler approfondit le contrôle qui relie les trois décomptes du dodécaèdre adouci.