icosa-dodécaèdre

Imaginez un ballon polyédrique dont on peut compter 32 faces. Ce total ne suffit pas à reconnaître sa forme : il faut aussi regarder les polygones qui composent sa surface. Vingt triangles accompagnés de douze pentagones forment un icosidodécaèdre.

Avec vingt triangles et douze décagones, on obtient plutôt un dodécaèdre tronqué. Vingt hexagones et douze pentagones caractérisent un icosaèdre tronqué. Les trois solides ont donc 32 faces, mais leurs faces et leurs assemblages les distinguent.

Dans la source, le nom icosa-dodécaèdre regroupe des polyèdres semi-réguliers convexes possédant 32 faces régulières. Cette propriété commune ne détermine pas un solide unique. La nature des faces permet de séparer trois configurations : l'icosidodécaèdre comporte 20 triangles équilatéraux et 12 pentagones réguliers ; le dodécaèdre tronqué, 20 triangles équilatéraux et 12 décagones réguliers ; l'icosaèdre tronqué, 20 hexagones réguliers et 12 pentagones réguliers.

Le nombre d'arêtes se calcule en additionnant les côtés de toutes les faces, puis en divisant par deux, car chaque arête borde deux faces. Si F désigne le nombre de faces, E celui des arêtes et V celui des sommets, la relation d'Euler pour un polyèdre convexe est $V-E+F=2V-E+F=2$. Elle donne 30 sommets et 60 arêtes pour l'icosidodécaèdre. Elle donne 60 sommets et 90 arêtes pour chacun des deux solides tronqués.

La figure compare ces trois inventaires et les décomptes qui en découlent. Elle montre pourquoi le seul total de 32 faces ne permet ni de choisir un nom précis ni de déduire le nombre de sommets.

Vérifions l'inventaire de l'icosidodécaèdre. Les données sont 20 faces triangulaires, 12 faces pentagonales et un polyèdre convexe dont chaque arête appartient à deux faces.

1. Comptons les incidences entre faces et arêtes. Les triangles apportent 20 × 3 = 60 côtés et les pentagones 12 × 5 = 60 côtés. Le total est 120.

2. Chaque arête a été comptée sur chacune de ses deux faces voisines. Le nombre d'arêtes est donc E = 120/2 = 60.

3. Le nombre de faces est F = 20 + 12 = 32. Avec la relation d'Euler V − E + F = 2, le nombre de sommets vaut V = 2 + 60 − 32 = 30.

4. Contrôlons localement : deux triangles et deux pentagones se rencontrent à chaque sommet. Les 20 triangles fournissent 60 coins triangulaires, soit deux par chacun des 30 sommets ; les 12 pentagones fournissent aussi 60 coins. Les deux décomptes concordent.

Pour identifier l'un de ces solides sur une maquette, classez d'abord ses faces par nombre de côtés. Si triangles et pentagones alternent, l'icosidodécaèdre convient ; la présence de décagones oriente vers le dodécaèdre tronqué.

Pour contrôler un patron ou un modèle, comptez les côtés portés par les faces et divisez par deux. Si le collage laisse des bords libres ou fait coïncider plus de deux faces sur une arête, ce calcul ne décrit pas encore un polyèdre fermé ordinaire.

Pour déduire les sommets, utilisez ensuite la relation d'Euler avec les nombres de faces et d'arêtes. Un simple produit du nombre de faces par leurs sommets compterait plusieurs fois les mêmes sommets et donnerait un résultat trompeur.

Icosa-dodécaèdre et icosidodécaèdre. Dans la source, le premier nom couvre plusieurs configurations à 32 faces, tandis que le second désigne précisément le solide formé de 20 triangles et 12 pentagones. La présence de décagones écarte donc l'icosidodécaèdre.

Dodécaèdre tronqué et icosaèdre tronqué. Ils ont tous deux 32 faces, 90 arêtes et 60 sommets. Le premier associe triangles et décagones ; le second associe pentagones et hexagones. Une seule face observée à six côtés tranche en faveur de l'icosaèdre tronqué.

Nombre de faces et nom du solide. Deux polyèdres peuvent avoir le même nombre de faces sans être identiques. Ici, le total 32 est commun aux trois configurations ; il faut aussi relever la nature et l'agencement des polygones.

Décompte des sommets du dodécaèdre tronqué. Le nombre 120 correspond au total des côtés des douze décagones avant prise en compte des triangles, pas au nombre de sommets du solide. Le double comptage des arêtes puis la relation d'Euler donnent 90 arêtes et 60 sommets.

Total de 32 faces. Ce seuil ne caractérise aucune des trois configurations à lui seul. Si l'inventaire des polygones manque, conservez seulement le constat « 32 faces » au lieu d'attribuer un nom précis.

Comptage sur un patron ouvert. La division par deux suppose que chaque arête du polyèdre fermé borde exactement deux faces. Sur un patron non assemblé, les bords sont encore séparés ; il faut d'abord indiquer quelles paires seront collées.

icosidodécaèdre — Approfondir la configuration précise où vingt triangles et douze pentagones se partagent trente sommets.

dodécaèdre tronqué — Examiner le solide à triangles et décagones, puis relier son inventaire de faces à ses soixante sommets.

icosaèdre tronqué — Comparer l'assemblage de douze pentagones et vingt hexagones aux deux autres configurations à trente-deux faces.

formule d'Euler — Retrouver le lien entre sommets, arêtes et faces qui contrôle tous les décomptes de cette fiche.