quadrilatère

Tracez quatre points distincts sur une feuille, sans en aligner trois, puis reliez-les dans un ordre qui forme un contour non croisé avant de revenir au premier. Le contour obtenu possède quatre côtés non dégénérés et quatre sommets : c'est un quadrilatère au sens usuel.

Deux sommets qui ne se suivent pas sont opposés. Le segment qui les relie traverse l'intérieur ou l'extérieur de la figure : c'est une diagonale. Un quadrilatère en possède deux.

Un quadrilatère est un polygone du plan formé de quatre sommets reliés successivement par quatre côtés. Pour un quadrilatère nommé ABCD, les sommets sont A, B, C et D. Ses côtés sont les segments [AB], [BC], [CD] et [DA] : le dernier ferme le contour en rejoignant le premier sommet.

Les sommets A et C sont opposés, tout comme B et D. Les segments [AC] et [BD], qui relient ces paires de sommets non consécutifs, sont les deux diagonales. Un quadrilatère au sens usuel peut être convexe ou concave. Dans une convention élargie, on appelle aussi quadrilatères les contours croisés ou aplatis, qui sont respectivement non simples ou dégénérés ; les quatre sommets ordonnés et les quatre côtés restent alors les données de la figure.

Le mot tétragone, d'origine grecque, a aussi désigné le quadrilatère, surtout au Moyen Âge. Le quadrilatère ne doit pas être confondu avec le quadrangle : lorsque ses quatre points sont distincts et qu'aucun groupe de trois n'est aligné, les six droites distinctes reliant toutes les paires de points le définissent.

On considère quatre points du plan : A de coordonnées (0 ; 0), B de coordonnées (4 ; 0), C de coordonnées (3 ; 3) et D de coordonnées (0 ; 2).

1. Relier successivement A à B, B à C, C à D et D à A donne quatre côtés et ferme le contour. La figure ABCD est donc un quadrilatère.
2. Les paires de sommets non consécutifs sont A et C, puis B et D. Les deux diagonales sont donc [AC] et [BD].
3. Pour contrôler la convexité, on suit le contour et l'on forme, à chaque sommet, les deux vecteurs portés par deux côtés consécutifs. Pour des vecteurs de coordonnées (u_x ; u_y) et (v_x ; v_y), le déterminant s'obtient en multipliant u_x par v_y, puis en retranchant le produit de u_y par v_x. Son signe indique le sens du changement de direction ; un même signe aux quatre sommets caractérise ici la convexité.4. Ces quatre valeurs sont strictement positives : les changements de direction ont tous le même sens. Le quadrilatère est convexe.

Le dessin permet de refaire le contrôle : les quatre côtés forment un contour sans croisement et aucune pointe ne rentre vers l'intérieur. Les diagonales peuvent se croiser sans que les côtés soient croisés.

Pour reconnaître un quadrilatère dans un dessin, on suit son contour et on compte les segments avant le retour au point de départ. Si le contour est simple et non aplati, quatre segments successifs non dégénérés donnent un quadrilatère ; davantage de segments conduisent à un autre polygone. Les contours croisés ou aplatis ne sont inclus que dans une convention élargie.

Pour nommer ses éléments, on lit les sommets dans l'ordre du contour. Deux lettres consécutives désignent un côté, tandis que deux lettres non consécutives désignent une diagonale.

Pour classer la forme, on observe ensuite le contour. Une pointe rentrante signale un quadrilatère concave ; dans la convention élargie, un croisement entre deux côtés signale un quadrilatère croisé. En l'absence de ces deux signes, on vérifie la convexité.

Quadrangle. Un quadrilatère retient quatre côtés reliant les sommets dans un ordre cyclique. Un quadrangle considère quatre points distincts en position générale — aucun groupe de trois n'étant aligné — et les six droites distinctes qui les relient deux à deux. Avec quatre points A, B, C et D satisfaisant ces conditions, la présence de six droites au lieu d'un contour de quatre côtés tranche la distinction.

Cas concave. Une pointe du contour rentre vers l'intérieur. Le simple comptage des quatre côtés reste valable, mais il ne suffit pas pour déclarer la figure convexe : il faut examiner le sens des changements de direction.

Cas croisé. Dans la convention élargie adoptée ici pour les quadrilatères auto-intersectés, deux côtés non consécutifs se coupent. Leur point d'intersection n'est pas pris pour un cinquième sommet : les quatre sommets nommés et les quatre côtés tracés restent les données de la figure.

Cas aplati. Lorsque le contour se rabat sur une même droite, la figure n'enferme plus de région du plan. Il faut conserver l'ordre des quatre sommets pour identifier les côtés, au lieu de se fier à une surface intérieure devenue nulle.

Diagonale — Pour approfondir le segment qui relie deux sommets non consécutifs d'un quadrilatère.

Du rhombe au losange — Pour suivre l'histoire du vocabulaire d'une famille particulière de quadrilatères.