théorème de Varignon

Dessinez quatre points, reliez-les pour former un quadrilatère, puis marquez le milieu de chacun des quatre côtés. En reliant ces milieux dans leur ordre, une forme familière apparaît toujours : un parallélogramme. Les côtés du quadrilatère de départ peuvent pourtant avoir des longueurs et des directions très différentes.

Le secret vient des diagonales. Chaque côté du nouveau parallélogramme est parallèle à l’une d’elles et mesure la moitié de sa longueur. Cette relation explique à la fois le parallélisme obtenu et le périmètre de la nouvelle figure.

Soit ABCD un quadrilatère dont les sommets sont pris dans leur ordre de parcours. Les points E, F, G et H sont respectivement les milieux des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Le quadrilatère EFGH est le parallélogramme de Varignon associé à ABCD. Cette construction reste valable lorsque ABCD est convexe, concave ou croisé.

Dans les triangles ABC et CDA, le théorème des milieux donne EF et HG parallèles à la diagonale AC, chacun de longueur AC/2. Dans les triangles BCD et DAB, il donne FG et EH parallèles à la diagonale BD, chacun de longueur BD/2. Les côtés opposés de EFGH sont donc parallèles et de même longueur.

Les diagonales [EG] et [FH] du parallélogramme sont les deux segments joignant les milieux de côtés opposés de ABCD. Elles se coupent au point de coordonnées moyennes des quatre sommets. Le périmètre de EFGH vaut AC + BD. Si ABCD n’est pas croisé, l’aire de EFGH vaut la moitié de celle de ABCD.

Si E, F, G et H sont, dans cet ordre, les milieux des quatre côtés consécutifs d’un quadrilatère ABCD, alors EFGH est un parallélogramme. Ses côtés vérifient les relations suivantes :

Ainsi, EF et HG sont parallèles à AC, tandis que FG et EH sont parallèles à BD. Il en résulte directement que le périmètre de EFGH est égal à AC + BD.

Le théorème s’applique à quatre sommets du plan reliés dans un ordre fixé. Il faut prendre exactement le milieu de chacun des quatre côtés consécutifs, puis relier ces milieux dans le même ordre. Aucune hypothèse d’angles droits, de côtés égaux, de convexité ou de parallélisme n’est nécessaire.

Si un point choisi n’est pas le milieu de son côté, les segments obtenus ne sont plus garantis parallèles aux diagonales et la figure peut ne pas être un parallélogramme. Il faut alors vérifier directement le parallélisme des côtés opposés. La relation d’aire égale à la moitié de l’aire ordinaire demande en outre un quadrilatère non croisé.

Dans un repère orthonormé, prenons A(0 ; 0), B(8 ; 0), C(6 ; 6) et D(0 ; 4). Le quadrilatère ABCD est convexe. Les points E, F, G et H sont les milieux successifs de ses côtés. Le schéma matérialise le parallélogramme formé par ces quatre milieux.

1. La formule du milieu donne E(4 ; 0), F(7 ; 3), G(3 ; 5) et H(0 ; 2).

2. Les vecteurs qui décrivent deux côtés consécutifs du quadrilatère intérieur sont :On obtient aussi les mêmes vecteurs pour HG et EH respectivement. EFGH est donc un parallélogramme.

3. Les diagonales du quadrilatère initial mesurent AC = 6√2 et BD = 4√5. Les côtés correspondants de EFGH mesurent EF = 3√2 et FG = 2√5. Son périmètre vaut donc 6√2 + 4√5, exactement comme AC + BD.

4. La formule du déterminant appliquée aux deux vecteurs précédents donne l’aire de EFGH :La formule du lacet donne 36 pour l’aire de ABCD. Le contrôle est exact : 18 est bien la moitié de 36 unités d’aire.

Pour construire un parallélogramme à l’intérieur d’un quadrilatère irrégulier, il suffit de mesurer chaque côté et d’en marquer le milieu. Si les quatre points obtenus ne forment pas un parallélogramme, une mesure de milieu ou l’ordre de raccordement est à reprendre.

Pour calculer le périmètre de ce parallélogramme, on peut éviter ses quatre côtés et additionner directement les longueurs des deux diagonales du quadrilatère initial. Cette voie est préférable lorsque les diagonales sont déjà connues.

Pour calculer son aire dans un quadrilatère non croisé, on peut diviser par deux l’aire de la figure initiale. Si le quadrilatère est croisé, il faut plutôt calculer l’aire du parallélogramme à partir de deux de ses côtés, car la notion d’aire du contour croisé demande une convention.

Avec un quadrilatère déjà parallélogramme. Le théorème ne dit pas que le quadrilatère ABCD de départ est un parallélogramme. Il affirme que le quadrilatère de ses milieux EFGH l’est. Un quadrilatère initial sans côtés opposés parallèles suffit à trancher.

Avec le segment des milieux d’un triangle. Dans un triangle, joindre deux milieux produit un seul segment parallèle au troisième côté. Varignon applique quatre fois cette idée autour d’un quadrilatère, et la fermeture des quatre segments produit un parallélogramme.

Quadrilatère croisé. Les quatre milieux forment encore un parallélogramme et la relation de périmètre reste vraie. En revanche, le contour initial délimite deux lobes plutôt qu’une région unique ; il faut annoncer une convention d’aire avant toute comparaison.

Diagonales parallèles ou dégénérées. Si les deux diagonales sont parallèles, le parallélogramme de Varignon est aplati et son aire vaut 0. Le mot « parallélogramme » est alors employé au sens dégénéré ; si l’on exige une figure d’aire positive, il faut exclure ce cas.

Confusion sur le point commun. Les diagonales [EG] et [FH] de la figure de Varignon se coupent au point moyen des quatre sommets. Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère initial n’ont pas, en général, le même milieu ; chacun de leurs milieux est seulement symétrique de l’autre par rapport à ce point commun.

Ordre des sommets. Changer l’ordre de raccordement change les côtés considérés et donc les milieux successifs. Il faut fixer le parcours A-B-C-D et conserver cet ordre dans toute la construction.

La fiche quadrilatère précise le vocabulaire des côtés, sommets et familles auquel s’applique la construction de Varignon.

La fiche Diagonale approfondit les segments qui commandent les directions, les longueurs des côtés et le périmètre du parallélogramme de Varignon.