parallélogramme de Wittenbauer

Imaginez un quadrilatère convexe dont chaque côté est partagé en trois morceaux égaux. On retient P sur [AB] au tiers depuis A, Q sur [BC] au tiers depuis C, R sur [CD] au tiers depuis C et S sur [DA] au tiers depuis A. En reliant P, Q, R et S dans cet ordre, on fait apparaître un parallélogramme.

Le parallélogramme de Wittenbauer rend visible une idée simple : des positions choisies avec la même proportion sur les côtés imposent une structure régulière lorsque les quatre points suivent cette correspondance orientée. Le tiers des côtés donne le cas de Wittenbauer ; la moitié donne le parallélogramme de Varignon.

Soit ABCD un quadrilatère convexe, parcouru dans cet ordre. Pour k = 1/3, on place P sur [AB] à la proportion k depuis A vers B, Q sur [BC] à la proportion k depuis C vers B, R sur [CD] à la proportion k depuis C vers D et S sur [DA] à la proportion k depuis A vers D. Les quatre points ainsi retenus forment le parallélogramme de Wittenbauer.

Plus précisément, pour 0 ≤ k ≤ 1, les quatre barycentres sont P = (1 − k)A + kB, Q = (1 − k)C + kB, R = (1 − k)C + kD et S = (1 − k)A + kD. Cette association orientée des coefficients sur les côtés donne le parallélogramme. Pour k = 1/3, on obtient le parallélogramme de Wittenbauer ; pour k = 1/2, chaque point est le milieu d’un côté et l’on retrouve le parallélogramme de Varignon. La convexité garantit ici le quadrilatère de départ demandé par la construction.

L’égalité vectorielle qui vérifie la propriété est la suivante, où les quatre points sont associés deux à deux aux sommets opposés : $P+R=Q+SP+R=Q+S$. Les diagonales du quadrilatère formé ont donc le même milieu, ce qui caractérise un parallélogramme.

Considérons le quadrilatère convexe de sommets A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(7 ; 4) et D(1 ; 5). Les coordonnées sont exprimées dans un même repère. On choisit les points de division associés au cas k = 1/3 : P sur [AB], Q sur [BC], R sur [CD] et S sur [DA].

Les données utiles sont : A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(7 ; 4), D(1 ; 5) et k = 1/3.

P = (1 − k)A + kB = (2/3)(0 ; 0) + (1/3)(6 ; 0) = (2 ; 0).
Q = (1 − k)C + kB = (2/3)(7 ; 4) + (1/3)(6 ; 0) = (20/3 ; 8/3).
R = (1 − k)C + kD = (2/3)(7 ; 4) + (1/3)(1 ; 5) = (5 ; 13/3).
S = (1 − k)A + kD = (2/3)(0 ; 0) + (1/3)(1 ; 5) = (1/3 ; 5/3).

Le contrôle est immédiat : P + R = (7 ; 13/3) et Q + S = (7 ; 13/3). Les diagonales [PR] et [QS] ont donc le même milieu, (7/2 ; 13/6), et PQRS est bien un parallélogramme.

Pour construire la figure à la règle et au compas, partagez chaque côté en trois longueurs égales, puis retenez P au tiers de [AB] depuis A, Q au tiers de [BC] depuis C, R au tiers de [CD] depuis C et S au tiers de [DA] depuis A. Reliez P, Q, R et S dans cet ordre pour délimiter le parallélogramme.

Pour vérifier le résultat sur un dessin, comparez les milieux des deux diagonales du quadrilatère intérieur. Cette vérification est préférable à une simple impression visuelle, car un parallélisme apparent peut venir de l’échelle du tracé.

Pour un calcul analytique, les coordonnées sont une alternative plus sûre au mesurage du dessin : affectez les mêmes coefficients barycentriques aux côtés correspondants, puis comparez les sommes des coordonnées des sommets opposés.

Le parallélogramme de Wittenbauer ne se confond pas avec celui de Varignon. Le critère qui les sépare est la proportion de partage : le premier utilise k = 1/3, tandis que le second utilise k = 1/2. Sur le même quadrilatère ABCD, un point situé au tiers d’un côté ne coïncide donc généralement pas avec son milieu.

La convexité du quadrilatère de départ est une hypothèse de la construction donnée. Si les côtés se croisent ou si trois sommets sont alignés, le tracé peut ne plus produire le quadrilatère convexe attendu. Le bon réflexe consiste à vérifier la nature du support avant d’appliquer la figure.

Un autre piège consiste à choisir, sur deux côtés voisins, des points de division proches de sommets différents. La relation de parallélogramme exige précisément P = (1 − k)A + kB, Q = (1 − k)C + kB, R = (1 − k)C + kD et S = (1 − k)A + kD, avec 0 ≤ k ≤ 1 ; il ne faut donc pas relier arbitrairement les points qui semblent les plus proches dans la représentation.

Le cas k = 1/2 est charnière : les barycentres deviennent les milieux des côtés et la construction change de nom pour donner Varignon. Pour k = 1/3, les points sont aux tiers prescrits par Wittenbauer ; ces deux valeurs ne doivent pas être interchangeées.

Le cas de Wittenbauer appartient à une famille continue de constructions barycentriques. Pour 0 ≤ k ≤ 1, en conservant P = (1 − k)A + kB, Q = (1 − k)C + kB, R = (1 − k)C + kD et S = (1 − k)A + kD, on conserve la relation des diagonales et donc la structure de parallélogramme ; k = 1/3 et k = 1/2 en sont deux cas particuliers nommés.