théorème de Ptolémée

Imaginez un rectangle dont les quatre sommets reposent sur un même cercle. Ses côtés mesurent 3 cm et 4 cm, tandis que chaque diagonale mesure 5 cm. Le théorème de Ptolémée relie ces quatre côtés aux deux diagonales : les produits des côtés opposés s'additionnent pour donner le produit des diagonales. Ici, 3 × 3 + 4 × 4 donne 25, comme 5 × 5. Cette relation permet donc de retrouver une longueur quand les autres sont connues.

Un quadrilatère cyclique est un quadrilatère convexe dont les quatre sommets appartiennent à un même cercle. Notons ses sommets A, B, C et D dans cet ordre, ses côtés AB, BC, CD et DA, et ses diagonales AC et BD. Si les longueurs de ces segments sont respectivement a, b, c, d, p et q, le théorème de Ptolémée s'écrit ainsi :

La réciproque vaut également pour un quadrilatère convexe : cette égalité est satisfaite si et seulement si ses quatre sommets sont concycliques. Le rectangle 3–4–3–4 inscrit dans un cercle donne p = q = 5 et fournit le cas particulier du théorème de Pythagore. La relation porte sur des longueurs positives ; elle ne décrit pas à elle seule un quadrilatère non convexe ou dégénéré.

Pour un quadrilatère cyclique ABCD, les deux côtés opposés AB et CD forment un premier produit, tandis que BC et DA forment le second. La somme de ces produits est égale au produit des diagonales AC et BD. En notation de longueurs, si a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, p = AC et q = BD, on obtient :

La règle est réversible dans le cadre des quadrilatères convexes : l'égalité caractérise alors l'inscription dans un cercle. Pour calculer une diagonale, on isole le produit qui la contient, puis on divise par l'autre diagonale non nulle.

Le théorème direct s'applique lorsque les quatre sommets du quadrilatère sont sur un même cercle et que le quadrilatère est convexe. Les sommets doivent être considérés dans leur ordre autour du contour, afin que les paires AB–CD et BC–DA soient bien les paires de côtés opposés. Toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.

La réciproque demande un quadrilatère convexe non dégénéré : si ses côtés et ses diagonales vérifient l'égalité de Ptolémée, alors ses quatre sommets sont concycliques. Une diagonale utilisée au dénominateur doit être strictement positive. Le rectangle est un cas particulier, parce que ses diagonales sont des diamètres du cercle circonscrit et que ses côtés opposés sont égaux.

Considérons le rectangle ABCD inscrit dans un cercle. Ses côtés opposés ont pour longueurs AB = CD = 3 cm et BC = DA = 4 cm. Ses diagonales AC et BD sont égales ; appelons x leur longueur. Le théorème de Ptolémée donne d'abord :

Les produits valent 9 cm² et 16 cm², donc leur somme vaut 25 cm². Il vient x² = 25 cm², et comme x est une longueur positive, x = 5 cm. La diagonale mesure donc exactement 5 cm. Dans ce rectangle, le diamètre du cercle circonscrit est cette diagonale : le calcul retrouve ainsi le théorème de Pythagore.

Pour utiliser le théorème, commencez par vérifier que le quadrilatère est convexe et que ses quatre sommets appartiennent au même cercle, ou que la réciproque est autorisée par le problème. Repérez ensuite les côtés opposés, mettez toutes les longueurs dans une unité commune et remplacez-les dans l'égalité. Il suffit enfin d'isoler la longueur recherchée. Dans le rectangle 3–4–3–4, cette démarche conduit directement à une diagonale de 5 cm.

Le théorème de Ptolémée ne dit pas que tout quadrilatère possède cette égalité. Il concerne les quadrilatères cycliques, avec une réciproque sous l'hypothèse de convexité. Il ne faut pas non plus confondre un quadrilatère cyclique avec un cercle inscrit dans le quadrilatère : dans le premier cas, ce sont les sommets qui sont sur le cercle ; dans le second, le cercle est tangent aux côtés.

Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle. Le théorème de Ptolémée relie six longueurs d'un quadrilatère cyclique. Le premier apparaît ici lorsque le quadrilatère est un rectangle, mais les deux résultats n'ont pas le même domaine général.

La convexité est essentielle à la formulation réciproque usuelle. Pour un quadrilatère croisé, l'ordre des sommets et le choix des segments opposés changent la lecture de la relation ; l'égalité écrite sans précaution ne fournit donc pas le même critère. Un quadrilatère dégénéré, dont trois sommets sont alignés ou dont deux sommets coïncident, sort également du cadre annoncé.

Une figure peut sembler presque circulaire sans que ses quatre sommets soient exactement concycliques. Avec des mesures approchées, une égalité numérique n'est alors qu'un test dépendant de la précision des données. Il faut aussi conserver une unité commune : les produits de longueurs ont une unité d'aire, et le produit des diagonales doit avoir cette même unité. Enfin, le théorème calcule des longueurs, pas les angles ni la position complète du quadrilatère.

Ptolémée a utilisé cette relation en trigonométrie pour ses tables de cordes. Une corde est le segment qui joint deux points d'un cercle ; sa longueur dépend de l'angle au centre qui l'intercepte. En appliquant le théorème à des quadrilatères formés par des points du cercle, on peut relier les cordes correspondant à plusieurs angles et calculer celle d'une somme d'angles. Le résultat géométrique devient ainsi un outil de calcul trigonométrique.

Le cas du rectangle fournit une passerelle simple vers Pythagore : une diagonale est un diamètre du cercle circonscrit, et les côtés opposés se regroupent par paires égales. Le théorème de Ptolémée offre donc un cadre plus large dans lequel l'identité pythagoricienne s'insère.