cercle inscrit dans un quadrilatère

Imaginez un cercle posé à l’intérieur d’un quadrilatère. Il touche chacun des quatre côtés sans les couper, comme une pièce exactement calée entre quatre droites. Le moindre côté trop proche ou trop éloigné empêche ce contact simultané.

Quand ce cercle existe, le quadrilatère est dit tangentiel ou circonscriptible. Son centre se trouve à la rencontre des bissectrices des quatre angles : il est donc à la même distance de chaque côté.

Dans un quadrilatère convexe non dégénéré nommé ABCD, un cercle inscrit est un cercle intérieur tangent aux quatre segments AB, BC, CD et DA. S’il existe, il est unique. Le quadrilatère est alors qualifié de tangentiel ou de circonscriptible. Le centre du cercle appartient aux quatre bissectrices intérieures, qui sont concourantes en ce point.

Le théorème de Pitot compare les longueurs des côtés opposés. Si un quadrilatère convexe possède un cercle inscrit, la somme des longueurs AB et CD égale celle des longueurs AD et BC. Cette égalité est donc une condition nécessaire, mais elle ne suffit pas en général à garantir l’existence du cercle :

La structure réunit cinq éléments nécessaires : un quadrilatère convexe ABCD, ses quatre côtés, un cercle intérieur, quatre points de tangence et le centre du cercle. Chaque côté porte exactement un point de contact. Le rayon mené vers ce point est perpendiculaire au côté correspondant.

Depuis un même sommet, les deux segments qui rejoignent les points de tangence voisins ont la même longueur. En additionnant ces paires autour du quadrilatère, on obtient l’égalité de Pitot entre les sommes de côtés opposés. Cette égalité découle de la tangence, mais ne suffit pas en général à garantir l’existence d’un cercle inscrit. Par ailleurs, un centre effectivement équidistant des quatre côtés, dont les perpendiculaires atteignent les quatre segments, permet d’identifier le cercle et de calculer son rayon lorsque la géométrie du quadrilatère est connue. La couleur, l’orientation et l’échelle du dessin ne définissent pas l’objet.

Considérons le losange ABCD représenté par des diagonales de longueurs 6 et 8. Leur point d’intersection est le centre O. Les données sont :
AB = BC = CD = DA = 5 ;
AC = 6 et BD = 8.

1. Vérifions le critère de Pitot : AB + CD = 5 + 5 = 10 et AD + BC = 5 + 5 = 10. Cette égalité est nécessaire, mais elle ne suffit pas à elle seule pour un quadrilatère quelconque. Ici, les diagonales du losange sont les bissectrices de ses angles : leur intersection O est donc à égale distance des quatre côtés. Le losange admet ainsi un cercle inscrit centré en O.

2. Les diagonales perpendiculaires partagent le losange en quatre triangles rectangles. Son aire vaut $\frac{6\times 8}{2}=24\backslash frac\{6\backslash times8\}\{2\}=24$.

3. Le demi-périmètre vaut (5 + 5 + 5 + 5) ÷ 2 = 10. Comme l’aire est égale au rayon multiplié par le demi-périmètre, le rayon vaut 24 ÷ 10 = 2,4.

Le cercle recherché est donc centré en O et possède un rayon de 2,4. Pour contrôler ce résultat, la distance de O à chacun des quatre côtés doit être exactement 2,4.

Pour décider si un quadrilatère convexe peut recevoir un cercle inscrit, on mesure ses quatre côtés puis on compare les deux sommes opposées. Si elles diffèrent, aucun cercle intérieur ne peut toucher les quatre côtés.

Pour construire le cercle, on trace deux bissectrices intérieures. Leur intersection donne un centre candidat ; la distance perpendiculaire à un côté fournit le rayon. Les deux autres côtés doivent être à la même distance. Il faut aussi vérifier que les quatre pieds des perpendiculaires appartiennent aux segments correspondants et que le cercle reste entièrement à l’intérieur du quadrilatère.

Si l’objectif est plutôt de faire passer un cercle par les quatre sommets, le test de Pitot n’est pas adapté. Il faut alors étudier un cercle circonscrit et les angles opposés du quadrilatère.

Cercle inscrit dans un quadrilatère et quadrilatère inscrit dans un cercle. Dans le premier cas, le cercle touche les quatre côtés. Dans le second, les quatre sommets appartiennent au cercle. Un carré vérifie les deux propriétés, mais cela ne les rend pas équivalentes.

Cercle inscrit et cercle simplement intérieur. Être entièrement contenu dans le quadrilatère ne suffit pas. Le cercle inscrit doit être tangent à chacun des quatre côtés ; un cercle plus petit, sans quatre contacts, n’est pas le cercle inscrit.

Cercle inscrit dans un triangle. Tout triangle non dégénéré possède un cercle inscrit, alors qu’un quadrilatère doit satisfaire le critère de Pitot dans le cadre convexe. L’existence automatique dans le triangle ne se transpose donc pas à quatre côtés.

Convexité indispensable. Pour un quadrilatère convexe non dégénéré, l’existence d’un cercle inscrit impose l’égalité AB + CD = AD + BC, mais cette condition nécessaire ne suffit pas à elle seule. Pour un quadrilatère concave, croisé ou aplati, il ne faut pas non plus conclure à l’existence d’un cercle intérieur à partir de cette seule écriture.

Égalité de longueurs, pas simple ressemblance visuelle. Sur un dessin approximatif, les sommes opposées peuvent sembler égales. Il faut utiliser des longueurs exactes ou tenir compte de la précision des mesures avant de conclure.

Contact avec les segments. Une droite support peut être tangente au cercle en dehors du côté tracé. Ce contact extérieur au segment ne constitue pas une tangence avec le côté du quadrilatère ; on doit vérifier que les quatre points de contact appartiennent bien aux quatre segments.

Le glossaire cercle inscrit replace la tangence intérieure dans un cadre plus général et précise le rôle du centre.

La fiche quadrilatère consolide le vocabulaire des sommets, côtés, diagonales et angles utilisé dans le critère de Pitot.

La notion de bissectrice intérieure explique pourquoi le centre du cercle inscrit est équidistant des côtés qui forment chaque angle.