GéométrieObjet géométrique · Glossaire
cercle inscrit
Le cercle inscrit dans un polygone est, lorsqu’il existe, l’unique cercle intérieur tangent à tous ses côtés. Son centre est équidistant des côtés ; dans tout triangle non dégénéré, il existe et se construit à l’intersection des bissectrices intérieures, tandis que son existence n’est pas garantie pour un polygone de plus de trois côtés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un cercle inscrit par ses tangences avec les côtés.
- Localiser son centre à l’intersection des bissectrices intérieures d’un triangle.
- Calculer un rayon inscrit à partir de l’aire et du demi-périmètre.
- Identifier les polygones pour lesquels l’existence n’est pas automatique.
En clair
Imaginez une pièce ronde posée à l’intérieur d’un triangle. Si son bord touche chacun des trois côtés sans les couper, son contour forme le cercle inscrit. Son centre se situe à la même distance des trois côtés : cette distance est aussi le rayon du cercle.
Pour trouver ce centre, on trace les bissectrices, qui partagent les angles du triangle en deux angles égaux. Leur point de rencontre est le centre recherché.
Définition
Un cercle est inscrit dans un polygone lorsqu’il est entièrement contenu dans ce polygone et tangent à chacun de ses côtés. La tangence signifie que chaque côté rencontre le cercle en un seul point. Le segment perpendiculaire mené du centre à un côté aboutit à ce point et sa longueur est égale au rayon.
Dans tout triangle non dégénéré, les trois bissectrices intérieures sont concourantes. Leur point commun, appelé centre du cercle inscrit, est équidistant des trois côtés ; le cercle ayant ce point pour centre et cette distance pour rayon est donc tangent aux trois côtés. Il existe toujours et il est unique.
Pour un polygone de plus de trois côtés, un cercle tangent à tous les côtés n’existe pas nécessairement : le polygone doit être circonscriptible. Lorsqu’un tel cercle existe, son rayon est appelé apothème dans la définition retenue ici. Dans l’usage scolaire, le mot « apothème » est surtout courant pour les polygones réguliers.
De quoi c'est fait
La structure réunit quatre éléments. Le polygone fournit les côtés à toucher. Les bissectrices intérieures déterminent le centre lorsqu’elles se rencontrent en un même point. Le centre doit être à égale distance de tous les côtés. Le rayon est cette distance commune, mesurée perpendiculairement à un côté ; son extrémité sur le côté est un point de tangence.
Le centre et la distance commune suffisent à construire le cercle. Réciproquement, les rayons menés aux points de tangence permettent de vérifier la perpendicularité aux côtés. La couleur, l’épaisseur du tracé ou l’orientation du polygone ne changent pas l’objet ; seules comptent les relations d’équidistance, de tangence et d’inclusion.
Un exemple, pas à pas
Considérons un triangle rectangle dont les deux côtés perpendiculaires mesurent 3 cm et 4 cm, et dont l’hypoténuse mesure 5 cm. Son aire vaut 6 cm2 et son demi-périmètre vaut 6 cm.
1. Traçons deux bissectrices intérieures. Leur intersection donne le centre du cercle inscrit ; la troisième bissectrice passe par le même point.
2. Notons A l’aire du triangle, s son demi-périmètre et r le rayon inscrit. L’aire est la somme des trois triangles ayant pour hauteur r, d’où la relation suivante.
2. Notons A l’aire du triangle, s son demi-périmètre et r le rayon inscrit. L’aire est la somme des trois triangles ayant pour hauteur r, d’où la relation suivante.
3. Nous obtenons donc . Le cercle inscrit a un rayon de 1 cm.
4. Comme contrôle, son centre est à 1 cm de chacun des trois côtés. Les trois rayons perpendiculaires atteignent bien les trois points de tangence.
4. Comme contrôle, son centre est à 1 cm de chacun des trois côtés. Les trois rayons perpendiculaires atteignent bien les trois points de tangence.
En pratique
Pour construire le cercle inscrit d’un triangle à la règle et au compas, on trace deux bissectrices intérieures. Leur intersection fixe le centre ; la perpendiculaire à un côté donne le rayon. Une médiatrice ne convient pas, car elle repère des points équidistants de sommets, non de côtés.
Pour calculer le rayon d’un triangle dont l’aire et le périmètre sont connus, on divise l’aire par le demi-périmètre. Cette voie est préférable à une construction lorsque des longueurs numériques sont demandées.
Pour tester un polygone à quatre côtés ou davantage, on cherche un point intérieur équidistant de tous les côtés et l’on vérifie que les perpendiculaires atteignent bien les segments. Si ces distances diffèrent, aucun cercle centré en ce point ne peut toucher tous les côtés.
À ne pas confondre
Cercle circonscrit. Le cercle inscrit touche les côtés du polygone, tandis que le cercle circonscrit passe par ses sommets. Dans un triangle quelconque, leurs centres sont en général distincts : les bissectrices donnent le premier, les médiatrices donnent le second.
Angle inscrit dans un cercle. Un angle inscrit a son sommet sur un cercle et ses côtés passent par deux autres points de ce cercle : ils portent donc deux cordes issues du sommet. Cette expression décrit la position d’un angle par rapport au cercle, et non un cercle tangent aux côtés d’un polygone.
Disque inscrit. Le cercle est la frontière ronde ; le disque comprend aussi son intérieur. Dire qu’un disque tient dans le polygone concerne une région, même si sa frontière est le cercle inscrit.
Limites et pièges
Triangle dégénéré. Si les trois sommets sont alignés, l’aire est nulle et il n’existe pas de cercle intérieur tangent à trois véritables côtés. Il faut vérifier que les trois longueurs satisfont strictement les inégalités triangulaires.
Polygone à quatre côtés ou davantage. L’existence n’est plus automatique. Un rectangle non carré, par exemple, n’admet aucun cercle tangent à ses quatre côtés : un cercle tangent aux deux côtés horizontaux aurait pour diamètre la hauteur, tandis que la tangence aux côtés verticaux imposerait la largeur.
Distance à la droite ou au côté. Être à égale distance des droites qui portent les côtés ne suffit que si les pieds des perpendiculaires tombent sur les segments concernés et si le cercle reste à l’intérieur. Il faut contrôler les points de tangence, surtout pour un polygone non convexe.
Apothème. Le terme désigne sans ambiguïté le rayon inscrit d’un polygone régulier. Pour un polygone quelconque, il vaut mieux préciser « rayon du cercle inscrit » afin de ne pas supposer une régularité absente.
Pour aller plus loin
La bissectrice intérieure explique pourquoi le centre du cercle inscrit est équidistant des côtés d’un angle.
L’apothème prolonge l’étude du rayon inscrit, notamment dans les polygones réguliers et les calculs d’aire.
Le centre du cercle circonscrit permet de comparer la concurrence des médiatrices à celle des bissectrices.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres