cercle exinscrit

Imaginez un cercle posé hors d’un triangle, assez grand pour toucher une ligne portant chacun de ses trois côtés. Deux contacts peuvent se trouver au-delà des sommets, sur les côtés prolongés. Le troisième se trouve sur le côté opposé au sommet auquel le cercle est associé.

Ce cercle est un cercle exinscrit. Son centre, appelé excentre, reste à la même distance des trois droites qui portent les côtés. Comme chaque sommet peut jouer le rôle particulier, un triangle possède trois cercles exinscrits.

Dans un triangle non dégénéré ABC, le cercle exinscrit associé au sommet A est tangent à la droite (BC) et aux droites (AB) et (AC). La tangence avec (BC) se situe sur le côté [BC] ; les deux autres tangences se situent généralement sur les prolongements de [AB] au-delà de B et de [AC] au-delà de C. Le cercle est extérieur au triangle, dans le demi-plan opposé à A par rapport à la droite (BC).

Son centre est l’excentre associé à A. Il appartient à la bissectrice intérieure de l’angle A et aux bissectrices extérieures des angles B et C. Ces trois droites déterminent un point unique, équidistant des trois droites portant les côtés ; cette distance commune est le rayon du cercle exinscrit.

Si le demi-périmètre du triangle est noté s, alors la distance de A à chacun des deux points de tangence situés sur les droites (AB) et (AC) vaut s. En choisissant successivement B puis C comme sommet associé, on obtient les deux autres cercles exinscrits : tout triangle non dégénéré en possède exactement trois.

Quatre éléments structurent le cercle exinscrit associé à A : le triangle ABC, l’excentre, le rayon et les trois points de tangence. L’excentre est fixé par la bissectrice intérieure en A et les bissectrices extérieures en B et C. Le rayon est ensuite la distance perpendiculaire de l’excentre à chacune des trois droites portant les côtés.

Les pieds de ces trois perpendiculaires sont les points de tangence. Ainsi, le choix du sommet A détermine les bissectrices à employer, puis l’excentre détermine à la fois le rayon et les contacts. La figure rassemble ces dépendances pour le triangle de côtés 13, 14 et 15 utilisé dans l’exemple. L’orientation, l’échelle et la couleur du tracé ne définissent pas l’objet.

Considérons un triangle ABC dont les longueurs sont AB = 13, BC = 14 et AC = 15. On cherche où se trouvent, sur les droites (AB) et (AC), les contacts du cercle exinscrit associé à A. Le demi-périmètre est noté s.

1. Additionner les trois longueurs : 13 + 14 + 15 = 42.
2. Diviser le périmètre par deux : $s=\frac{13+14+15}{2}=21s=\backslash frac\{13+14+15\}\{2\}=21$.
3. Placer sur la droite (AB) le point de contact à 21 unités de A. Comme AB vaut 13, ce point dépasse B de 21 − 13 = 8 unités.
4. Placer de même le contact sur (AC). Comme AC vaut 15, ce point dépasse C de 21 − 15 = 6 unités.

Les deux distances depuis A valent donc exactement 21 unités, conformément à la propriété du demi-périmètre. Le contrôle est immédiat : 13 + 8 = 21 sur la première droite et 15 + 6 = 21 sur la seconde.

Pour construire le cercle associé à A, tracez la bissectrice intérieure de l’angle A et la bissectrice extérieure de l’angle B. Leur intersection donne l’excentre ; la perpendiculaire menée de ce point à une droite portant un côté donne le rayon.

Pour contrôler un dessin, observez les trois distances perpendiculaires entre l’excentre et les droites des côtés. Elles doivent être égales à la précision du tracé. Si le centre se trouve à l’intérieur du triangle, le dessin représente plutôt le cercle inscrit.

Pour retrouver rapidement les contacts sur les deux côtés issus du sommet associé, calculez le demi-périmètre. Dans l’exemple 13-14-15, la distance 21 montre aussitôt que les contacts sont au-delà de B et de C.

Le cercle inscrit est tangent aux trois côtés à l’intérieur du triangle, et son centre rencontre trois bissectrices intérieures. Un cercle exinscrit est extérieur : pour celui associé à A, deux contacts se font sur les prolongements de [AB] et [AC]. Dans le triangle 13-14-15, un contact situé 8 unités au-delà de B tranche immédiatement entre les deux objets.

Il ne faut pas non plus confondre l’excentre avec un sommet du triangle. L’excentre est un point construit par intersection de bissectrices ; le test décisif est son égale distance perpendiculaire aux trois droites portant les côtés.

La construction suppose un triangle non dégénéré. Si les trois sommets sont alignés, il n’existe plus trois angles de triangle ni trois bissectrices déterminant un excentre : il faut alors renoncer à parler de cercle exinscrit au triangle.

Le mot « côté » peut masquer l’usage des droites prolongées. Pour le cercle associé à A, les contacts sur (AB) et (AC) sont généralement hors des segments [AB] et [AC]. Dans l’exemple, les distances 21 dépassent les longueurs 13 et 15 : chercher ces contacts entre les sommets rendrait la construction impossible.

Enfin, « le cercle exinscrit » reste ambigu sans sommet associé. Un triangle non dégénéré en possède trois. Il faut préciser « associé à A », « associé à B » ou « associé à C », puis employer la bissectrice intérieure du sommet choisi et les deux bissectrices extérieures correspondantes.

Le cercle inscrit permet de comparer une tangence intérieure aux trois côtés avec les tangences extérieures qui caractérisent les cercles exinscrits.

La bissectrice intérieure éclaire la construction de l’excentre et explique pourquoi le sommet associé n’emploie pas une bissectrice extérieure.