GéométrieNotion · Glossaire
point de Nagel
Dans un triangle ABC non dégéné, soient A', B' et C' les points où les cercles exinscrits dans les angles A, B et C touchent respectivement les côtés opposés (BC), (AC) et (AB). Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes : leur point commun est le point de Nagel du triangle. Cette construction permet de le repérer à partir des trois points de contact exinscrits.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois points de contact qui définissent les céviennes de Nagel.
- Vérifier leur concurrence dans un triangle 13–14–15 avec le théorème de Céva.
- Distinguer le point de Nagel du centre du cercle inscrit et du centre de gravité.
- Reconnaître les cas dégénéré et équilatéral.
En clair
Imaginez trois cercles posés à l'extérieur d'un triangle. Chacun touche un côté du triangle et les prolongements des deux autres. Reliez chaque sommet au point où le cercle placé en face touche le côté opposé. Les trois traits se rencontrent au même endroit : le point de Nagel.
Ce point résume ainsi une propriété d'équilibre entre les trois côtés. Il se trouve aussi sur une même droite que le centre de gravité et le centre de Spieker, construit à partir du triangle des milieux.
Définition
Dans un triangle non dégénéré ABC, le cercle exinscrit opposé au sommet A touche le côté BC en un point noté A'. De même, le cercle exinscrit opposé à B touche le côté CA en B', et celui qui est opposé à C touche le côté AB en C'. Les droites AA', BB' et CC' sont des céviennes, c'est-à-dire des droites passant par un sommet et un point du côté opposé.
Le théorème de Nagel affirme que ces trois céviennes sont concourantes. Leur unique point commun est le point de Nagel du triangle. Les points de contact sont situés sur les côtés eux-mêmes, même si les deux autres contacts de chaque cercle exinscrit se trouvent sur des prolongements.
Le point de Nagel, le centre de gravité G et le centre de Spieker, qui est le centre du cercle inscrit du triangle médian, sont alignés. La droite qui les porte est appelée droite de Nagel. Le nom rend hommage à Christian August Nagel (1821-1903), mathématicien allemand qui travailla en géométrie du triangle et en géodésie.
Un exemple, pas à pas
Prenons un triangle ABC dont les côtés opposés aux sommets A, B et C mesurent respectivement 13, 14 et 15 unités. Son demi-périmètre, noté s, vaut . Les points A', B' et C' sont les contacts des cercles exinscrits avec BC, CA et AB.
1. Sur BC, on obtient BA' = 21 − 15 = 6 et A'C = 21 − 14 = 7.
2. Sur CA, on obtient CB' = 21 − 13 = 8 et B'A = 21 − 15 = 6.
3. Sur AB, on obtient AC' = 21 − 14 = 7 et C'B = 21 − 13 = 8.
4. On vérifie alors le critère de concurrence :
2. Sur CA, on obtient CB' = 21 − 13 = 8 et B'A = 21 − 15 = 6.
3. Sur AB, on obtient AC' = 21 − 14 = 7 et C'B = 21 − 13 = 8.
4. On vérifie alors le critère de concurrence :
Le théorème de Céva confirme que AA', BB' et CC' se coupent en un même point : le point de Nagel. Le contrôle est refaisable en vérifiant que chaque paire de longueurs reconstitue bien le côté correspondant : 6 + 7 = 13, 8 + 6 = 14 et 7 + 8 = 15.
En pratique
Pour construire le point de Nagel, on repère sur chaque côté le contact du cercle exinscrit opposé, puis on trace les droites joignant ces contacts aux sommets correspondants. Deux droites suffisent pour localiser le point ; la troisième sert de contrôle.
Lorsque les longueurs des côtés sont connues, le demi-périmètre donne les segments découpés par les points de contact. Le critère de Céva permet alors de vérifier la concurrence sans devoir construire les trois cercles exinscrits.
Si l'objectif est seulement de partager le triangle depuis ses sommets, les médianes sont plus directes à tracer. Les céviennes de Nagel sont à privilégier lorsque les contacts avec les cercles exinscrits sont l'information étudiée.
À ne pas confondre
Le centre du cercle inscrit. Le point I est le centre du cercle tangent aux trois côtés. Le point de Nagel est, lui, l'intersection de trois droites issues des sommets et dirigées vers des contacts de cercles exinscrits. Ils sont alignés, mais généralement distincts.
Le centre de gravité. Le point G est l'intersection des médianes, qui rejoignent les sommets aux milieux des côtés. Un point de contact exinscrit n'est généralement pas un milieu : dans le triangle 13–14–15, le côté de longueur 13 est partagé en 6 et 7.
Limites et pièges
Triangle dégénéré. Si la somme de deux côtés est égale au troisième, les trois sommets sont alignés. Le triangle n'a plus d'intérieur et la construction usuelle des cercles exinscrits ne fournit pas un point de Nagel au sens précédent. Il faut donc supposer les inégalités triangulaires strictes.
Triangle équilatéral. Les contacts exinscrits sont les milieux des côtés. Les céviennes de Nagel deviennent les médianes, et le point de Nagel coïncide alors avec le centre de gravité et le centre du cercle inscrit. L'alignement reste vrai, mais ne détermine plus une droite unique par trois points distincts.
Mauvais cercle associé. Pour définir A', il faut prendre le cercle exinscrit opposé à A et son contact avec BC. Utiliser le cercle inscrit ou un contact situé sur un prolongement change les rapports et ne construit pas la cévienne de Nagel attendue.
Pour aller plus loin
Cercle exinscrit — Pour approfondir l'objet dont les contacts déterminent les trois céviennes de Nagel.
Théorème de Céva — Pour retrouver le critère qui transforme les six longueurs de l'exemple en preuve de concurrence.
Cercle inscrit — Pour distinguer le centre I des centres exinscrits et situer son rôle sur la droite de Nagel.
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