GéométrieNotion · Glossaire
point de Gergonne
Dans un triangle non dégéné ABC, le cercle inscrit touche les côtés opposés à A, B et C en M, N et P. Les droites AM, BN et CP sont concourantes : leur point commun est le point de Gergonne du triangle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire le point de Gergonne à partir du cercle inscrit et de ses points de tangence.
- Vérifier la concurrence des trois céviennes avec le théorème de Céva.
- Recalculer les rapports sur un triangle de côtés 13, 14 et 15.
- Lire les coordonnées barycentriques du point et reconnaître les cas où il coïncide avec d'autres centres.
En clair
Imaginez un cercle posé à l'intérieur d'un triangle, juste assez grand pour toucher ses trois côtés. Chaque contact donne un point sur un côté. Reliez alors chaque sommet au point de contact situé sur le côté opposé : les trois droites passent toutes par un même point. Ce rendez-vous unique est le point de Gergonne.
La figure dépend du triangle, mais la concurrence des trois droites vaut pour tout triangle non dégénéré.
Définition
Dans un triangle non dégénéré ABC, le cercle inscrit est le cercle intérieur tangent aux trois côtés. On note M son point de tangence avec le côté BC, N celui avec le côté CA et P celui avec le côté AB. Les droites AM, BN et CP sont des céviennes : chacune joint un sommet à un point du côté opposé. Le théorème de Gergonne affirme qu'elles sont concourantes. Leur intersection unique est le point de Gergonne du triangle.
Cette concurrence vient de l'égalité des deux segments tangents issus d'un même sommet. Si les longueurs des côtés opposés à A, B et C sont respectivement notées a, b et c, et si le demi-périmètre est noté s, alors BM = BP = s − b, CM = CN = s − c et AN = AP = s − a. Le produit de Céva vaut donc , ce qui établit la concurrence.
Dans le repère barycentrique associé aux sommets A, B et C, le point de Gergonne a pour coordonnées . Ces coordonnées sont homogènes : les multiplier toutes par un même nombre non nul ne change pas le point. Joseph-Diez Gergonne (1771-1859) a donné son nom au résultat et a fondé en 1810 les Annales de mathématiques pures et appliquées, dites Annales de Gergonne.
Un exemple, pas à pas
Prenons un triangle ABC dont les côtés opposés à A, B et C mesurent respectivement a = 13, b = 14 et c = 15. Son demi-périmètre vaut s = (13 + 14 + 15) / 2 = 21. Le cercle inscrit touche BC en M, CA en N et AB en P.
1. Les tangentes issues de A ont la même longueur : AN = AP = s − a = 8.
2. De même, BM = BP = s − b = 7, tandis que CM = CN = s − c = 6. Les côtés sont bien reconstitués : 7 + 6 = 13, 6 + 8 = 14 et 8 + 7 = 15.
3. Le critère de Céva donne . Les droites AM, BN et CP sont donc concourantes au point de Gergonne G.
4. Ses coordonnées barycentriques sont (1/8 : 1/7 : 1/6), soit (21 : 24 : 28) après multiplication par 168. Le contrôle est refaisable : les trois rapports du produit de Céva se simplifient deux à deux et redonnent exactement 1.
En pratique
Pour construire le point de Gergonne sur une figure, on trace le cercle inscrit, on marque ses trois points de tangence, puis on relie chaque point au sommet opposé. L'intersection de deux de ces droites suffit ; la troisième sert de contrôle.
Si seules les longueurs des côtés sont données, le calcul des segments s − a, s − b et s − c évite une construction précise du cercle. Le théorème de Céva est alors l'outil adapté pour vérifier la concurrence.
Dans un calcul de coordonnées, la forme barycentrique situe directement le point à partir de a, b, c et s. Des coordonnées cartésiennes sont préférables seulement si le problème demande ensuite une distance, une pente ou une équation de droite dans un repère.
À ne pas confondre
Le point de Gergonne n'est pas le centre du cercle inscrit. Le centre du cercle est à égale distance des trois côtés ; le point de Gergonne est l'intersection des droites joignant les sommets aux points de tangence opposés. Dans un triangle quelconque, ces deux constructions donnent généralement deux points différents.
Il ne faut pas non plus confondre le point de Gergonne avec le centre de gravité. Les médianes visent les milieux des côtés, tandis que les céviennes de Gergonne visent les points de tangence. Dans le triangle 13–14–15, M partage BC en 7 et 6 : M n'est donc pas le milieu de BC.
Limites et pièges
La construction suppose un triangle non dégénéré. Si les trois sommets sont alignés, il n'existe pas de cercle inscrit tangent à trois côtés formant un triangle ; les points M, N et P, puis le point de Gergonne, ne sont donc pas définis par cette procédure.
L'ordre des points de tangence compte. M appartient au côté opposé à A, N au côté opposé à B et P au côté opposé à C. Une permutation des lettres sans permutation cohérente des droites peut faire échouer le produit de Céva et désigne une autre construction.
Dans un triangle équilatéral, les points de tangence sont aussi les milieux des côtés. Le point de Gergonne coïncide alors avec le centre du cercle inscrit et le centre de gravité. Cette coïncidence particulière n'autorise pas à identifier ces points dans un triangle général.
Pour aller plus loin
Le cercle inscrit précise la construction du cercle tangent aux trois côtés et le rôle de son centre.
Le théorème de Céva donne le critère de rapports qui certifie la concurrence des trois céviennes.
Les coordonnées barycentriques montrent comment trois poids attachés aux sommets déterminent la position du point de Gergonne.
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