coordonnées barycentriques

Prenez un triangle et attribuez une part à chacun de ses sommets. Si les trois parts totalisent 1, leur point d'équilibre occupe une position précise. Ces trois parts sont les coordonnées barycentriques du point.

Avec trois parts égales à 1/3, le point obtenu est le centre de gravité du triangle, à l'intersection de ses médianes. Une part nulle place le point sur la droite reliant les deux autres sommets, et sur leur côté si les deux parts restantes sont positives. Une part négative peut le conduire hors du triangle.

Dans un espace euclidien de dimension n, on choisit n + 1 points A₁, …, A_n+1 qui ne sont pas tous contenus dans un même hyperplan. Ils sont alors affinement indépendants et forment un repère barycentrique. Pour tout point M, ses coordonnées barycentriques sont les n + 1 nombres réels x₁, …, x_n+1 tels que : Cette écriture est une combinaison affine des points de référence.

La condition sur les points de référence garantit l'existence et l'unicité du tuple. Dans le plan, trois sommets A, B et C non alignés suffisent : tout point M possède un unique triplet (x_A, x_B, x_C) de somme 1. Si les trois nombres sont positifs ou nuls, M appartient au triangle fermé. Un nombre nul place M sur le côté opposé au sommet correspondant, sous réserve que les deux autres restent positifs ou nuls.

Les coordonnées peuvent être négatives : elles décrivent alors encore un point du plan, souvent extérieur au triangle. Leur somme imposée à 1 est essentielle. Sans cette normalisation, multiplier tous les poids par un même réel non nul ne changerait pas le barycentre et le repérage ne serait plus unique.

Dans un repère cartésien du plan, considérons le triangle de sommets A = (0, 0), B = (6, 0) et C = (0, 3). Nous cherchons le centre de gravité G, point d'intersection des trois médianes. Les données sont donc les trois sommets et des poids égaux.

1. Attribuons le poids 1/3 à chacun des sommets. Le triplet proposé pour G est (1/3, 1/3, 1/3).

2. Contrôlons la normalisation : 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1. Le triplet peut donc définir une combinaison affine.

3. Calculons les coordonnées cartésiennes de G à partir de celles de A, B et C :

4. Le résultat est G = (2, 1). La figure montre que les trois médianes passent bien par ce point. Pour refaire le contrôle, prenez la moyenne des trois abscisses, puis celle des trois ordonnées : on retrouve exactement 2 et 1.

5. Déterminons maintenant les poids d'un point non symétrique du même triangle : P = (3, 3/4). Écrivons P = αA + βB + γC avec α + β + γ = 1. La comparaison des coordonnées donne : On obtient donc β = 1/2 et γ = 1/4.

6. La normalisation fournit α = 1 − 1/2 − 1/4 = 1/4. Le triplet de P est donc (1/4, 1/2, 1/4), dont la somme vaut 1. Vérifions la recomposition :

En géométrie du triangle, les coordonnées barycentriques sont naturelles lorsqu'un point est défini par des poids attachés aux sommets. Pour le centre de gravité, la symétrie des trois poids donne directement (1/3, 1/3, 1/3). Des coordonnées cartésiennes sont préférables si le calcul porte surtout sur des distances ou des angles.

Pour situer un point par rapport au triangle, observez les signes des trois coordonnées normalisées. Trois valeurs positives ou nulles indiquent le triangle fermé ; une valeur nulle signale le côté opposé au sommet correspondant. Si la question demande seulement une position intérieure ou extérieure, ce test évite de calculer plusieurs équations de droites.

Dans un simplexe de dimension n, utilisez n + 1 poids lorsque les sommets constituent les données naturelles du problème. Si les points de référence ne sont pas affinement indépendants, changez de simplexe ou revenez à un repère cartésien : le tuple barycentrique ne serait pas unique.

Coordonnées barycentriques et coordonnées cartésiennes. Dans le plan, les premières donnent trois poids de somme 1 relativement aux sommets d'un triangle ; les secondes donnent deux nombres relativement à une origine et deux vecteurs de base. Ainsi, G a pour coordonnées barycentriques (1/3, 1/3, 1/3) et pour coordonnées cartésiennes (2, 1) dans l'exemple.

Coordonnées barycentriques et barycentre. Le barycentre est le point produit par un système de points pondérés ; les coordonnées barycentriques sont le tuple normalisé qui repère un point dans un simplexe fixé. Le test est concret : G est un point, tandis que (1/3, 1/3, 1/3) est sa liste de coordonnées relativement à A, B et C.

Triangle dégénéré. Si A, B et C sont alignés, ils ne forment pas un repère barycentrique du plan. Le symptôme est qu'un même point admet plusieurs triplets de somme 1. Il faut choisir trois points non alignés ou travailler sur la droite affine qu'ils engendrent avec deux points distincts.

Somme différente de 1. Un triplet de poids dont la somme vaut 0 ne définit pas un barycentre usuel. Si la somme vaut un réel s non nul, divisez chaque poids par s avant de parler de coordonnées barycentriques. Dans l'exemple, (2, 2, 2) produit le même barycentre que (1/3, 1/3, 1/3), mais seul le second triplet est normalisé.

Coordonnée nulle mal interprétée. La condition x_A = 0 place le point sur la droite passant par B et C, pas nécessairement sur le segment [BC]. Pour conclure qu'il appartient au côté, vérifiez aussi que x_B et x_C sont positifs ou nuls.

Poids négatif. Une coordonnée négative n'invalide pas le repérage : elle indique seulement que le point n'est pas dans l'intérieur du simplexe. Il faut conserver le triplet et lire l'ensemble des signes, au lieu de remplacer la valeur négative par zéro.

barycentre — Revoir la construction du point pondéré dont les poids normalisés deviennent les coordonnées barycentriques.

Aire et barycentre — Relier les poids barycentriques aux rapports d'aires dans un triangle.

Une notion affine inspirée par la physique — Approfondir le passage de l'intuition d'équilibre à la notion affine de barycentre.