point de Lemoine

Dans un triangle, tracez depuis chaque sommet la droite qui partage le côté opposé en deux parts égales. Puis, à chaque sommet, reflétez cette médiane de l'autre côté de la bissectrice de l'angle. Les trois droites obtenues se rencontrent en un même point : le point de Lemoine.

Ce point est plus proche d'un petit côté que d'un grand : ses trois distances aux côtés gardent exactement les mêmes proportions que leurs longueurs.

Dans un triangle non dégénéré ABC, la symédiane issue de A est l'image de la médiane issue de A par la réflexion autour de la bissectrice intérieure de l'angle A. Les symédianes issues de A, B et C sont concourantes en un point intérieur unique, appelé point de Lemoine ou point symédian.

On note a la longueur BC, opposée à A, b la longueur CA, opposée à B, et c la longueur AB, opposée à C. Le point de Lemoine K est le barycentre des sommets affectés des poids a², b² et c² : $K=\frac{a^{2}A+b^{2}B+c^{2}C}{a^2+b^2+c^2}K=\backslash frac\{a^2A+b^2B+c^2C\}\{a^2+b^2+c^2\}$. Ces poids sont positifs, ce qui place K à l'intérieur du triangle.

Si d_a, d_b et d_c désignent les distances de K aux côtés BC, CA et AB, alors $d_a:d_b:d_c=a:b:cd\_a:d\_b:d\_c=a:b:c$. Parmi tous les points intérieurs, K est aussi l'unique point qui minimise d_a² + d_b² + d_c².

Considérons le triangle rectangle dont les sommets sont A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3). Les côtés opposés à A, B et C ont respectivement pour longueurs a = 5, b = 3 et c = 4.

1. Les poids barycentriques sont a² = 25, b² = 9 et c² = 16 ; leur somme vaut 50.
2. On calcule $K=\frac{25A+9B+16C}{50}=(\frac{18}{25},\frac{24}{25})K=\backslash frac\{25A+9B+16C\}\{50\}=\backslash left(\backslash frac\{18\}\{25\},\backslash frac\{24\}\{25\}\backslash right)$.
3. La distance à CA vaut 18/25 = 0,72 et la distance à AB vaut 24/25 = 0,96.
4. Le côté BC a pour équation 3x + 4y = 12. La distance de K à BC vaut 6/5 = 1,20.

Les trois distances sont donc 0,72 ; 0,96 ; 1,20. Leur quotient par les longueurs correspondantes 3, 4 et 5 vaut chaque fois 0,24. Le contrôle confirme ainsi la proportion d_b : d_c : d_a = b : c : a. La somme de leurs carrés vaut exactement 72/25, soit 2,88.

Pour une construction à la règle et au compas, construisez une médiane et la bissectrice intérieure issues de deux sommets. Reflétez chaque médiane autour de sa bissectrice : l'intersection des deux symédianes suffit, la troisième servant de contrôle.

Lorsque les coordonnées des sommets et les longueurs des côtés sont connues, le barycentre pondéré évite les réflexions géométriques. Il est préférable si l'on cherche des coordonnées exactes ou si la figure dessinée manque de précision.

Si un point candidat est déjà donné, mesurez ses distances perpendiculaires aux trois côtés. Des rapports distance/longueur de côté égaux caractérisent le point de Lemoine à l'intérieur du triangle.

Le centre de gravité est le concours des médianes elles-mêmes, sans réflexion. Dans le triangle 3–4–5 de l'exemple, il a pour coordonnées (4/3 ; 1), tandis que le point de Lemoine est (18/25 ; 24/25).

Le centre du cercle inscrit est le concours des bissectrices et se trouve à égale distance des trois côtés. Le point de Lemoine, lui, a des distances proportionnelles aux longueurs des côtés ; elles ne sont donc égales que si le triangle est équilatéral.

Si les trois sommets sont alignés, le triangle est dégénéré : il n'a plus d'intérieur ni trois bissectrices intérieures au sens requis. La définition du point de Lemoine utilisée ici ne s'applique donc qu'aux triangles non dégénérés.

Les poids se lisent avec le côté opposé au sommet : A reçoit a² avec a = BC, et non AB². Inverser cette correspondance produit en général un autre point ; il faut d'abord fixer les trois notations.

Dans un triangle isocèle, le point de Lemoine et plusieurs autres points remarquables appartiennent au même axe de symétrie, sans nécessairement coïncider. Dans le cas charnière équilatéral, les trois poids sont égaux et le point de Lemoine coïncide notamment avec le centre de gravité et le centre du cercle inscrit. Cette coïncidence ne vaut pas pour un triangle quelconque.

La propriété minimale concerne la somme des carrés des distances perpendiculaires aux trois droites qui portent les côtés. Minimiser la somme simple des distances ou les distances aux sommets pose un autre problème.

La fiche symédiane détaille la droite dont les trois exemplaires concourent au point de Lemoine.

La médiane d'un triangle permet de repartir de la construction qui est réfléchie autour de chaque bissectrice.

Le barycentre donne le cadre général du calcul pondéré par a², b² et c².