théorème du chevron

Dans un triangle, tracez une droite depuis un sommet A jusqu'au côté opposé. Elle coupe ce côté en A′ et passe par un point intérieur N. Si A′ partage le côté dans le rapport 1 pour 2, les deux triangles appuyés sur le segment AN ont eux aussi des aires dans le rapport 1 pour 2.

Le chevron apparaît dans les deux triangles ANB et ANC, accolés le long de AN. Le théorème transforme ainsi une comparaison d'aires en une comparaison de deux longueurs portées par une même droite.

Le théorème du chevron relie un partage du côté d'un triangle à deux aires. On considère un triangle ABC et un point N intérieur. La droite passant par A et N rencontre le côté [BC] en A′ ; le segment [AA′] est une cévienne. Les triangles ANB et ANC ont la même base [AN].

Leurs hauteurs relatives à cette base sont les distances de B et de C à la droite (AN). Comme B, A′ et C sont alignés, ces distances valent respectivement BA′ et CA′ multipliées par le même sinus. Leur quotient est donc BA′ / CA′, ce qui donne le même quotient pour les aires.

Pour un point N extérieur, la droite (AN) peut rencontrer la droite (BC) hors du segment [BC]. La relation se prolonge alors avec des longueurs algébriques et des aires orientées cohérentes ; avec les seules aires usuelles positives, il faut prendre les valeurs absolues.

Soit ABC un triangle non dégénéré. Si N est intérieur au triangle et si la droite (AN) coupe [BC] en A′, alors le rapport des aires des triangles ANB et ANC est égal au rapport dans lequel A′ partage [BC].

Les quatre longueurs et aires sont ici positives, car A′ appartient à [BC] et N est intérieur.

La forme usuelle s'applique dans un triangle ABC non dégénéré, avec un point N strictement intérieur. La droite (AN) doit rencontrer le côté opposé [BC] en un point A′. Il faut comparer précisément les aires de ANB et ANC, qui partagent la base [AN], et les longueurs BA′ et CA′ situées sur la droite (BC).

Si N est strictement entre B et C, les deux triangles ont la même hauteur issue de A et Aire(ANB) / Aire(ANC) = BN / CN. Si N = B, l'aire de ANB et le rapport valent 0 ; si N = C, l'aire de ANC et le dénominateur sont nuls, donc le quotient n'est pas défini. Si N est extérieur et que A′ tombe hors de [BC], la version positive ne suffit plus ; il faut employer des grandeurs orientées cohérentes ou comparer les valeurs absolues après avoir établi les signes.

Dans un repère orthonormé, on prend A(0 ; 6), B(0 ; 0) et C(9 ; 0). Le point A′ a pour coordonnées (3 ; 0), et le point intérieur N(2 ; 2) appartient bien à la droite (AA′). Les longueurs sont BA′ = 3 et CA′ = 6.

1. Pour le triangle ANB, les vecteurs issus de A ont pour coordonnées AN = (2 ; −4) et AB = (0 ; −6). La valeur absolue de leur déterminant vaut 12, donc Aire(ANB) = 12 / 2 = 6 unités d'aire.

2. Pour le triangle ANC, les vecteurs issus de A sont AN = (2 ; −4) et AC = (9 ; −6). La valeur absolue du déterminant vaut 24, donc Aire(ANC) = 24 / 2 = 12 unités d'aire.

3. Les deux comparaisons donnent exactement le même nombre : $\frac{6}{12}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\backslash frac\{6\}\{12\}=\backslash frac\{3\}\{6\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$. Le rapport des aires est donc bien BA′ / CA′.

Le schéma reprend ces cinq points et les deux sous-triangles. Pour contrôler le calcul sans déterminant, on peut mesurer les distances de B et C à la droite (AN) : elles sont dans le rapport 1 pour 2, tandis que la base [AN] est commune.

Quand une figure donne le point A′ mais pas les hauteurs, le théorème remplace deux calculs d'aires par la mesure de BA′ et CA′ sur une même droite. Dans l'exemple, lire 3 et 6 suffit pour obtenir le rapport 1/2.

Inversement, si deux aires sont connues, leur quotient détermine le rapport BA′ : CA′. Pour en déduire les longueurs ou la position métrique de A′, il faut aussi connaître BC. Un rapport d'aires égal à 1 impose BA′ = CA′ : la cévienne passe alors par le milieu du côté opposé.

Pour plusieurs céviennes d'un même triangle, ces rapports d'aires peuvent alimenter une démonstration du théorème de Céva. On préfère toutefois un calcul direct par base et hauteur lorsqu'une aire isolée, et non un rapport, est demandée.

Avec le théorème de Céva. Le chevron concerne une seule cévienne et compare deux aires à deux segments du côté opposé. Céva porte sur trois céviennes et donne un critère de concours. Une figure ne comportant qu'une droite issue de A relève du chevron, pas encore de Céva.

Avec la formule base × hauteur / 2. Cette formule calcule chaque aire séparément. Le théorème du chevron calcule directement leur quotient grâce à une base commune et à l'alignement de B, A′ et C. Si une valeur d'aire absolue est demandée, le rapport seul ne suffit pas.

Avec la médiane. Une médiane correspond au cas particulier BA′ = CA′ et produit deux aires égales. Une cévienne qui partage le côté dans le rapport 1 pour 2, comme dans l'exemple, n'est pas une médiane.

Point sur le côté opposé. Si N est strictement entre B et C, les deux triangles ont la même hauteur issue de A et Aire(ANB) / Aire(ANC) = BN / CN. Si N = B, seule l'aire de ANB est nulle et le rapport vaut 0 ; si N = C, seule l'aire de ANC est nulle et le quotient n'est pas défini.

Extrémité du côté. Si A′ coïncide avec B ou C, l'un des segments BA′ ou CA′ est nul. Dans la configuration intérieure stricte, cela ne peut pas arriver ; sur une configuration limite, il faut traiter séparément l'aire nulle et éviter de diviser par zéro.

Point extérieur. Lorsque A′ est hors de [BC], les rapports orientés peuvent être négatifs alors que les aires usuelles restent positives. Le signe discordant signale le mélange de conventions : on emploie soit aires et longueurs orientées, soit leurs valeurs absolues.

Mauvaise hauteur. Les triangles ANB et ANC ont la base [AN] commune ; leurs hauteurs partent respectivement de B et de C vers (AN). Une prétendue hauteur commune issue de N ne justifie pas directement leurs aires : il faut utiliser la base commune ou les distances à (AN).

La fiche cévienne précise le nom et le rôle de la droite qui joint un sommet au côté opposé.

Le théorème de Céva prolonge l'étude à trois céviennes et caractérise leur concours par un produit de rapports de longueurs.