Céva Giovanni

Dans un triangle, tracez depuis chaque sommet une droite vers le côté opposé. Si ces trois droites se rencontrent en un même point, elles sont dites concourantes. Le théorème de Céva donne un test simple pour le vérifier : il compare les trois rapports de longueurs découpés sur les côtés. Lorsque leur produit vaut 1, les trois droites se coupent ensemble, sous réserve que les points soient placés sur les côtés et qu'aucun dénominateur ne soit nul.

Le théorème de Céva est un critère de concourance dans un triangle. Dans le triangle ABC, choisissons A′ sur BC, B′ sur CA et C′ sur AB. Pour des points situés à l'intérieur des côtés, les droites AA′, BB′ et CC′ sont concourantes si et seulement si le produit des rapports de longueurs associés aux trois côtés vaut 1 :

Les trois fractions comparent, dans l'ordre, les deux portions de BC, de CA et de AB : BA′/A′C, CB′/B′A et AC′/C′B. Voici le critère :

Dans cette écriture, BA′ et A′C désignent les longueurs des deux portions de BC ; les deux autres rapports se lisent de la même manière sur CA et AB. Pour des points intérieurs, ces longueurs sont positives et les dénominateurs ne sont pas nuls. La réciproque est aussi valable : si l'égalité est satisfaite, les trois céviennes — les droites joignant un sommet au côté opposé — sont concourantes. Pour des points sur les prolongements, on utilise la même égalité avec des segments orientés : on oriente BC de B vers C, CA de C vers A et AB de A vers B, puis la mesure signée de chaque segment est positive dans le sens de l'orientation choisie et négative dans l'autre sens.

Prenons un triangle ABC et les milieux A′, B′ et C′ de BC, CA et AB. Chaque côté est alors partagé en deux segments de même longueur : BA′ = A′C, CB′ = B′A et AC′ = C′B. Le produit des trois rapports est donc exactement 1. Pour vérifier que l'ordre compte dans un cas moins symétrique, considérons aussi BA′/A′C = 2 sur BC, CB′/B′A = 3/2 sur CA et AC′/C′B = 1/3 sur AB : 2 × 3/2 × 1/3 = 1. Ces rapports associés aux trois côtés permettent encore de conclure à la concourance.

Le théorème permet donc de conclure que AA′, BB′ et CC′ sont concourantes. Leur point commun est le centre de gravité du triangle, c'est-à-dire le point où se rencontrent ses trois médianes. La figure associée montre cette configuration avec A = (100,80), B = (60,280) et C = (340,280), dans une unité graphique choisie pour le dessin.

Le théorème de Céva sert à reconnaître rapidement si trois droites issues des sommets d'un triangle se rencontrent en un même point. Mesurez les deux portions de chaque côté, formez les trois rapports dans l'ordre indiqué, puis comparez leur produit à 1. Cette méthode évite de déterminer d'abord les coordonnées du point de rencontre.

Le théorème de Céva ne décrit pas une seule droite particulière : il porte sur la concourance de trois céviennes dans un triangle. Il ne faut pas le confondre avec le théorème de Ménélaus, qui caractérise l'alignement de trois points placés sur les côtés ou leurs prolongements. Ces deux résultats sont souvent présentés comme duaux : l'un relie des droites concourantes, l'autre une droite sécante et des points alignés.

Le critère suppose que chaque point est bien associé au côté opposé au sommet correspondant. Si A′ coïncide avec B ou C, l'un des rapports devient nul ou le dénominateur peut s'annuler ; la forme élémentaire du théorème n'est alors plus directement applicable. Des points sur les prolongements peuvent encore être traités, mais les rapports doivent être orientés et leurs signes fixés par une convention. Enfin, trois droites peuvent être parallèles, ou deux d'entre elles peuvent coïncider : cette coïncidence rend la configuration dégénérée et peut conduire à une infinité de points communs si la troisième droite coïncide aussi, mais elle n'exclut pas un point commun ordinaire avec une troisième droite non parallèle. Il faut distinguer ces configurations du cas usuel de trois droites distinctes se rencontrant en un point.

Le résultat s'inscrit dans une famille de théorèmes de géométrie projective et affine consacrés aux rapports dans un triangle. La version avec rapports orientés étend le test aux prolongements des côtés, tandis que la dualité avec Ménélaus met en regard concourance et alignement. L'histoire de Giovanni Ceva élargit aussi la perspective : son ouvrage De lineis rectis (1678) relie la géométrie à l'étude des centres de gravité, et ses travaux abordent également l'hydrodynamique, l'économie mathématique et la trisection de l'angle.