ménélienne

Tracez un triangle, puis une droite qui traverse les trois droites portant ses côtés sans toucher un sommet. Deux points de coupe peuvent apparaître sur le contour du triangle ; le troisième se trouve alors sur le prolongement d'un côté. Cette droite est une ménélienne.

Les trois points ne sont pas placés au hasard. Le théorème de Ménélaüs relie leurs positions par trois rapports signés. Cette relation sert à contrôler un alignement ou à retrouver une longueur manquante.

Soit un triangle non dégénéré ABC. Une ménélienne est une droite qui rencontre les droites supports (AB), (BC) et (CA), respectivement en trois points D, E et F, sans passer par A, B ou C. Les intersections peuvent appartenir aux côtés ou à leurs prolongements. « Droite de Ménélaüs » et, dans ce contexte, « transversale » sont des appellations équivalentes.

Pour écrire le critère avec un signe déterminé, orientons (AB) de A vers B, (BC) de B vers C et (CA) de C vers A. La barre au-dessus de deux lettres désigne alors une longueur algébrique, positive ou négative selon l'orientation. Lorsque les dénominateurs sont non nuls, D, E et F sont alignés si et seulement si :

Cette équivalence est le théorème de Ménélaüs. Elle permet soit de vérifier qu'une droite est bien une ménélienne, soit de calculer la position d'un troisième point à partir des deux autres. Avec des longueurs ordinaires toutes positives, le signe disparaît dans la configuration courante où deux points sont sur des côtés et le troisième sur un prolongement ; le produit des valeurs absolues vaut alors 1.

Prenons A(290, 260), B(80, 460) et C(500, 460). Le point D(185, 360) est le milieu de [AB], le point E(220, 460) partage [BC] avec BE = 140 et EC = 280, et F(80, 60) est sur le prolongement de [CA] au-delà de A. La figure montre la droite rouge passant par ces trois points.

Données.
Orientations : A vers B, B vers C et C vers A.
Rapport sur (AB) : D est le milieu de [AB].
Rapport sur (BC) : BE = 140 et EC = 280.
Rapport sur (CA) : le vecteur CF est deux fois le vecteur CA.

Étape 1. Le milieu D donne $\frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}=1\backslash frac\{\backslash overline\{AD\}\}\{\backslash overline\{DB\}\}=1$. Les longueurs annoncées sur [BC] donnent $\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{140}{280}=\frac{1}{2}\backslash frac\{\backslash overline\{BE\}\}\{\backslash overline\{EC\}\}=\backslash frac\{140\}\{280\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$.

Étape 2. Sur l'axe orienté de C vers A, F se trouve au-delà de A. Ainsi, CF a le sens positif et FA le sens négatif, d'où $\frac{\overline{CF}}{\overline{FA}}=-2\backslash frac\{\backslash overline\{CF\}\}\{\backslash overline\{FA\}\}=-2$.

Étape 3. Le produit vaut $1\times \frac{1}{2}\times (-2)=-11\backslash times\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash times(-2)=-1$. Le critère est satisfait : la droite (DEF) est une ménélienne du triangle ABC.

Contrôle. Les trois coordonnées vérifient l'équation $y-60=\frac{20}{7}(x-80)y-60=\backslash frac\{20\}\{7\}(x-80)$. La substitution de F, D puis E donne respectivement 0 = 0, 300 = 300 et 400 = 400.

Pour contrôler trois points déjà placés sur les supports des côtés, on calcule les trois rapports orientés. Si leur produit vaut −1 avec la convention annoncée, le théorème établit l'alignement ; des coordonnées sont préférables lorsque les positions sont données dans un repère.

Pour construire le troisième point d'une ménélienne, on choisit deux points sur deux supports, puis on trace leur droite. Son intersection avec le troisième support fournit le point cherché. Le calcul de Ménélaüs sert alors de contrôle exact du tracé.

Pour déterminer une longueur manquante, on isole le rapport inconnu dans le produit. Avant de convertir ce rapport en longueur, il faut regarder si le point est sur le côté ou sur son prolongement : cette position fixe le signe.

Ménélienne et cévienne. Une cévienne passe par un sommet du triangle et rejoint le côté opposé. Une ménélienne évite les trois sommets et rencontre les trois supports des côtés. Une droite issue de A qui coupe le support de BC en un point distinct de B et C relève donc des céviennes, pas des ménéliennes.

Configuration de Ménélaüs et configuration de Céva. Ménélaüs porte sur trois points alignés sur une même droite. Céva porte sur trois droites issues des sommets et concourantes en un même point. Le premier dessin montre une transversale ; le second, un point de rencontre.

Ménélienne et sécante quelconque. Couper une seule droite portant un côté ne suffit pas. Pour être une ménélienne affine du triangle, la droite doit rencontrer les trois supports en trois points valides et ne traverser aucun sommet.

Les trois intersections ne sont pas toutes sur le contour. Une droite qui évite les sommets coupe le bord d'un triangle non dégénéré en deux points au plus. Dans l'exemple, F est donc nécessairement sur le prolongement de [CA], et non sur le côté lui-même.

Le signe dépend de la convention annoncée. Mélanger longueurs ordinaires et longueurs algébriques peut transformer à tort −1 en 1. Il faut orienter les trois supports, conserver l'ordre des rapports et appliquer une seule convention jusqu'au résultat.

Un sommet rend la configuration interdite. Si la droite passe par A, les intersections avec (AB) et (CA) se confondent et un dénominateur comme FA ou une longueur comme AD devient nul. Il faut choisir une droite évitant les sommets avant d'appliquer le critère.

Une parallèle à un support n'a pas trois intersections finies. Dans le plan affine, elle ne répond pas à la définition donnée. Une formulation projective peut ajouter un point à l'infini, mais elle exige un autre cadre et ne doit pas être injectée dans le calcul euclidien comme un point ordinaire.

Le théorème de Ménélaüs développe le critère d'alignement, le calcul des rapports dirigés et les pièges de signe.

La fiche Ménélaüs relie le nom de la droite au mathématicien, à Sphaerica et à la trigonométrie sphérique.

Le théorème de Céva fournit le critère voisin pour la concurrence de droites issues des sommets.