Ménélaüs

Vers 100 après J.-C., Ménélaüs d'Alexandrie étudie les triangles tracés sur un plan, mais aussi sur une sphère. Son nom reste attaché à une question très visuelle : trois points placés sur les côtés d'un triangle, ou sur leurs prolongements, sont-ils alignés ?

Son théorème répond en comparant trois rapports de longueurs. Il transforme ainsi un alignement visible en un calcul que l'on peut contrôler. Son traité Sphaerica étend cette manière de raisonner aux triangles sphériques et relie géométrie et astronomie.

Ménélaüs d'Alexandrie est un mathématicien et astronome grec de l'Antiquité, actif vers 100 après J.-C. Plusieurs de ses ouvrages sur les cordes d'un cercle sont perdus. Son œuvre principale, Sphaerica, a été conservée en trois livres grâce à sa transmission en arabe. Le premier livre traite des triangles sphériques en généralisant des résultats d'Euclide, le deuxième aborde l'astronomie et le troisième systématise la trigonométrie sphérique.

Dans le plan, son nom est surtout associé au théorème des transversales. Dans un triangle ABC, une droite rencontre les droites portant les côtés AB, BC et CA en trois points D, E et F. Avec des longueurs ordinaires et la configuration où un point se trouve sur un prolongement, l'alignement se traduit par :

Cette écriture avec des longueurs ordinaires correspond à la configuration de l'exemple. Dans la convention orientée annoncée en ouverture, AD/DB = 1 et BE/EC = 1/2 restent positifs, tandis que CF/FA = −2 parce que F se trouve au-delà de A sur l'axe C→A ; le produit vaut donc −1. Le signe change avec la convention, pas l'alignement testé. Dans les deux cas, les rapports doivent être définis et la position des points contrôlée. Le théorème possède aussi une version sphérique. Il est souvent rapproché du théorème de Céva par dualité, sans que cette parenté mathématique implique une proximité historique entre leurs auteurs.

Considérons le triangle ABC. Le point D est le milieu du côté AB. Le point E partage le côté BC avec BE deux fois plus court que EC. La droite DE coupe le prolongement de CA au point F. Le schéma fixe cette configuration et les trois rapports à vérifier.

Données.
AD = 3 et DB = 3.
BE = 2 et EC = 4.
CF = 12 et FA = 6.
Les points D, E et F appartiennent aux droites portant les trois côtés.

Étape 1. Le premier rapport vaut AD/DB = 3/3 = 1.

Étape 2. Le deuxième rapport vaut BE/EC = 2/4 = 1/2. Le troisième vaut CF/FA = 12/6 = 2.

Étape 3. Multiplions les trois résultats : $1\times \frac{1}{2}\times 2=11\backslash times\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash times2=1$. Le critère de Ménélaüs est satisfait : D, E et F sont alignés.

Contrôle. Les points du schéma peuvent être pris aux coordonnées A(0, 0), B(6, 0), C(0, 6), D(3, 0), E(4, 2) et F(0, −6). La droite passant par D et E a pour équation y = 2x − 6 ; F la vérifie aussi.

En géométrie plane, le théorème teste l'alignement de trois points portés par les côtés d'un triangle. On calcule les trois rapports ; si leurs positions et leur produit respectent la convention choisie, le test remplace une appréciation imprécise à l'œil.

Lorsqu'une longueur manque, la même relation permet de retrouver le rapport inconnu à partir des deux autres. Si le problème porte au contraire sur trois droites issues des sommets et leur point de concours, le théorème de Céva est l'alternative adaptée.

Sur une sphère, les côtés d'un triangle sont des arcs. La version sphérique du théorème appartient au cadre développé dans Sphaerica, aux côtés de questions astronomiques. Il faut alors employer la relation sphérique, et non recopier le produit des longueurs planes.

Ménélaüs et le théorème de Ménélaüs. Le premier nom désigne le mathématicien et astronome grec ; le second, le critère des transversales associé à son nom. Une question sur Sphaerica concerne l'auteur et son œuvre, tandis qu'un produit de trois rapports concerne le théorème.

Théorème de Ménélaüs et théorème de Céva. Ménélaüs caractérise trois points alignés sur une transversale ; Céva caractérise trois droites concourantes issues des sommets. Dans le premier cas, on cherche une même droite ; dans le second, un même point. Leur dualité ne signifie pas que leurs auteurs sont contemporains.

Un point peut être extérieur au triangle. Dans l'exemple, F appartient au prolongement de CA et non au segment [CA]. Oublier ce prolongement rend le dessin et les rapports incompatibles. Il faut repérer les droites portant les côtés, pas seulement les trois segments.

Les signes dépendent de la convention. Le produit positif 1 utilisé ici porte sur des longueurs ordinaires dans une configuration précisée. Avec des segments orientés, le critère fait intervenir un signe lié aux orientations choisies. Il faut annoncer la convention avant de comparer deux formules.

Les rapports doivent être définis. Si D coïncide avec B, si E coïncide avec C ou si F coïncide avec A, l'un des dénominateurs s'annule. Le produit affiché n'est alors pas utilisable sous cette forme ; il faut traiter la configuration séparément.

Le plan et la sphère ne partagent pas automatiquement la même formule. Le théorème existe dans les deux cadres, mais un triangle sphérique est formé d'arcs. Il faut employer la version adaptée à la sphère plutôt que substituer directement des longueurs d'arcs dans la relation plane.

Le théorème de Céva prolonge la comparaison annoncée dans la source : il remplace l'alignement de trois points par la concurrence de trois droites.

Le triangle sphérique précise l'objet géométrique au centre du premier livre de Sphaerica.

La trigonométrie sphérique situe la portée du troisième livre et les relations propres aux triangles tracés sur une sphère.