GéométrieNotion · Glossaire
trigonométrie sphérique
La trigonométrie sphérique étudie les relations entre les angles et les distances d’un triangle tracé sur une sphère, dont les côtés sont les arcs mineurs de grands cercles reliant trois sommets distincts, non antipodaux et non situés sur un même grand cercle. Les longueurs de côté se mesurent comme des angles au centre, en radians ; ce cadre permet notamment de calculer des positions célestes et les routes les plus courtes sur un globe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter les côtés d’un triangle sphérique comme des mesures angulaires en radians.
- Appliquer la formule des cosinus sphériques et sa relation duale.
- Vérifier un calcul exact sur un triangle formé de trois quarts de grands cercles.
- Repérer les ambiguïtés liées aux arcs majeurs, aux antipodes et aux unités.
En clair
Imaginez trois trajets dessinés sur un globe, chacun suivant un grand cercle. Ils délimitent un triangle, mais sa surface est courbe et ses côtés sont des arcs. Deux villes peuvent ainsi être reliées par la route la plus courte sur le globe sans que celle-ci paraisse droite sur une carte plane.
La trigonométrie sphérique relie les longueurs angulaires de ces arcs aux angles formés à leurs rencontres. Contrairement à un triangle tracé sur une feuille, la somme de ses angles peut dépasser π radians, soit 180°.
Définition
La trigonométrie sphérique étudie les triangles dont les sommets appartiennent à une sphère et dont les côtés suivent des arcs de grands cercles. Sur une sphère de rayon R, la longueur d’un arc divisée par R donne sa mesure angulaire en radians. On note a, b et c les mesures angulaires des côtés opposés respectivement aux angles A, B et C.
Pour un triangle sphérique usuel, formé d’arcs mineurs et contenu dans un hémisphère, la formule des cosinus sphériques relie un côté aux deux autres et à l’angle compris :
La relation duale relie de même un angle aux deux autres et au côté opposé :
Les deux autres égalités de chaque famille s’obtiennent par permutation circulaire des lettres a, b, c et A, B, C.
Pour un triangle non dégénéré de ce type, la somme A + B + C est strictement supérieure à π et strictement inférieure à 3π. La différence E = A + B + C − π s’appelle l’excès sphérique. Les identités planes ne remplacent pas ces relations, même si elles redeviennent de bonnes approximations pour un triangle très petit devant le rayon de la sphère.
Un exemple, pas à pas
Sur la sphère unité, prenons trois points A, B et C situés dans trois directions deux à deux perpendiculaires depuis le centre. Les trois côtés suivent les quarts de grands cercles qui relient ces points. Les données sont b = π/2, c = π/2 et A = π/2. La figure matérialise les trois arcs égaux de ce triangle sphérique.
1. Les données connues étant les côtés b et c ainsi que l’angle compris A, on choisit la formule des cosinus sphériques pour calculer le côté a :
2. Comme le cosinus de π/2 vaut 0 et son sinus vaut 1, le membre de droite vaut exactement 0. Parmi les côtés mineurs, on obtient donc a = π/2 radians.
3. Par la même symétrie, les trois angles valent A = B = C = π/2. Leur somme vaut 3π/2 radians, soit 270°, et dépasse bien π radians.
4. Lorsque les données connues sont les angles B et C ainsi que le côté opposé a, on choisit la relation duale pour calculer ou contrôler A. Ici :
On retrouve donc A = π/2 radians.
5. Le contrôle par l’excès sphérique donne :
Sur la sphère unité, cet excès égale numériquement l’aire du triangle, soit π/2 unité d’aire.
En pratique
En navigation, deux positions sur un globe définissent une route orthodromique, c’est-à-dire un arc de grand cercle. On emploie le calcul sphérique lorsque la courbure terrestre influe sur le cap ou la distance ; pour un trajet local, un modèle plan peut suffire à la précision recherchée.
En astronomie, trois directions observées depuis un même point forment des arcs et des angles sur la sphère céleste. Les relations sphériques servent alors à passer de données angulaires à une position céleste. Une construction plane n’est adaptée que si le champ observé est assez petit pour que son erreur reste négligeable.
Le geste décisif consiste à convertir d’abord chaque longueur d’arc en mesure angulaire cohérente. Sur une sphère de rayon R, un arc de longueur s fournit l’angle s/R en radians ; mélanger une longueur et un angle dans la même formule rend le calcul faux.
À ne pas confondre
Trigonométrie plane. Ses triangles ont des côtés rectilignes dans un plan et une somme des angles égale à π. Si trois arcs de grands cercles délimitent la figure sur une sphère, ce sont les identités sphériques qu’il faut employer.
Trigonométrie sphérique et géodésie. La première établit des relations mathématiques sur une sphère idéale. La géodésie mesure et modélise la forme de la Terre ; lorsque l’aplatissement terrestre compte, un modèle ellipsoïdal remplace la sphère.
Limites et pièges
Choix des arcs. Deux points distincts et non antipodaux déterminent un arc mineur et un arc majeur sur le même grand cercle. Les formules usuelles supposent que les côtés choisis et l’intérieur du triangle sont fixés ; si un côté dépasse π radians, il faut annoncer cette convention avant de calculer.
Points antipodaux. Deux sommets opposés n’imposent pas un grand cercle unique. Le côté qui les relie est alors ambigu, et les angles du triangle ne sont pas déterminés par les seuls sommets. Il faut ajouter le grand cercle choisi ou écarter ce cas dégénéré.
Bornes de la somme. Les inégalités π < A + B + C < 3π concernent un triangle sphérique non dégénéré construit avec les arcs mineurs usuels. À la limite d’un triangle aplati, la somme peut tendre vers π ; elle ne doit donc pas être présentée comme un écart uniforme.
Unités. Les côtés a, b et c des identités sont des angles en radians, pas directement des kilomètres. Pour un rayon R et une longueur d’arc s, il faut utiliser s/R dans la formule, puis remultiplier un résultat angulaire par R si une longueur est demandée.
Pour aller plus loin
L’étude des géodésiques précise pourquoi les arcs de grands cercles jouent le rôle de chemins les plus courts sur une sphère, tant qu’on retient l’arc mineur entre deux points non antipodaux.
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