GéométrieNotion · Glossaire
excès sphérique
Dans un triangle sphérique non dégénéré dont les côtés sont des arcs de grands cercles, l'excès sphérique est le surplus de la somme des angles intérieurs sur π radians (180°) ; il est strictement positif. Lorsque les angles sont mesurés en radians, cet excès multiplié par le carré du rayon de la sphère donne l'aire du triangle, ce qui relie directement angles et surface.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'excès comme l'écart entre la somme des angles et π
- Calculer l'aire d'un triangle sphérique avec le théorème de Girard
- Contrôler le calcul sur un triangle couvrant un huitième de sphère
- Reconnaître les cas dégénérés, les mauvaises unités et les côtés inadéquats
En clair
Imaginez un triangle dessiné sur un globe : ses côtés suivent de grands cercles, comme l'équateur ou les méridiens. En partant du pôle Nord vers deux points de l'équateur séparés d'un quart de tour, on obtient trois angles droits. Leur somme vaut 270°, et non 180°.
Les 90° supplémentaires constituent l'excès sphérique. Plus cet excès est grand, plus le triangle occupe d'aire sur une sphère de rayon donné.
Définition
Un triangle sphérique est une région de la surface d'une sphère limitée par trois arcs de grands cercles. Si les mesures en radians de ses angles intérieurs sont notées A, B et C, son excès sphérique, noté E, est l'écart entre leur somme et l'angle plat π : .
Pour un triangle sphérique non dégénéré, la somme A + B + C est strictement comprise entre π et 3π radians. Par conséquent, l'excès vérifie . Les angles doivent être exprimés en radians dans les formules qui relient l'excès à l'aire.
Le théorème de Girard relie cette grandeur à l'aire S du triangle sur une sphère de rayon R : . L'excès est sans dimension ; le facteur R2 donne à S une unité d'aire. Sur une sphère unité, la valeur numérique de l'aire est donc égale à celle de l'excès.
Un exemple, pas à pas
Considérons une sphère de rayon 2 km. Le triangle relie le pôle Nord à deux points de l'équateur séparés de 90° de longitude. Ses côtés suivent deux méridiens et un quart de l'équateur. La figure rend visible ce découpage en trois angles droits.
Données.
Rayon de la sphère : R = 2 km.
Angles intérieurs : A = B = C = 90° = π/2 radians.
Rayon de la sphère : R = 2 km.
Angles intérieurs : A = B = C = 90° = π/2 radians.
1. Additionnons les trois angles : .
2. Retirons π radians : . L'excès vaut exactement π/2 radian, soit 90°.
3. Appliquons le théorème de Girard : . L'aire vaut exactement 2π km2, soit environ 6,28 km2.
Le triangle couvre un huitième de la sphère. Or l'aire totale vaut 4πR2 = 16π km2 ; son huitième vaut bien 2π km2.
En pratique
Pour obtenir l'aire d'un triangle délimité par des arcs de grands cercles sur une sphère, on mesure ses trois angles en radians, on calcule leur excès sur π, puis on multiplie par le carré du rayon. Cette voie est adaptée lorsque les angles sont connus.
En géodésie, le calcul rappelle qu'un triangle tracé sur un modèle sphérique n'obéit pas à la somme de 180° de la géométrie plane. Le critère observable est l'échelle de la surface courbe : dès que le modèle retenu est la sphère, les côtés pertinents sont des arcs de grands cercles.
On peut aussi partir d'une aire S déjà connue pour retrouver l'excès sur une sphère de rayon R : . Il faut conserver des unités cohérentes pour le rayon et l'aire.
À ne pas confondre
Excès sphérique et somme des angles. La somme A + B + C est un total angulaire ; l'excès sphérique est seulement la part qui dépasse π. Dans l'exemple à trois angles droits, la somme vaut 3π/2, tandis que l'excès vaut π/2.
Excès sphérique et aire. L'excès est un angle sans dimension, alors que l'aire s'exprime en unités carrées. Ils ont la même valeur numérique uniquement sur une sphère de rayon 1 ; sinon, le facteur R2 les distingue.
Limites et pièges
Côtés inadéquats. La formule concerne un triangle dont les côtés sont des arcs de grands cercles. Si une frontière suit un autre cercle de la sphère, la région n'est pas le triangle sphérique visé ici ; il faut d'abord décrire sa frontière réelle.
Cas dégénéré. La stricte positivité suppose un triangle non dégénéré. Quand la région s'aplatit jusqu'à une aire nulle, l'excès tend vers 0 ; on ne peut plus invoquer l'inégalité stricte E > 0 pour ce cas limite.
Borne supérieure. Pour un triangle non dégénéré du cadre donné, la somme des angles reste strictement inférieure à 3π et l'excès à 2π. Écrire 3π comme une valeur atteinte ferait disparaître la distinction entre borne et triangle admissible.
Degrés dans la formule d'aire. Un excès de 90° doit être converti en π/2 radian avant d'utiliser S = ER2. Employer directement 90 multiplierait artificiellement le résultat.
Pour aller plus loin
Le théorème de Girard fait de l'excès une mesure de l'aire lorsqu'on connaît le rayon. Cette relation invite à étudier comment la courbure d'une surface modifie les règles familières de la géométrie plane, en particulier la somme des angles d'un triangle.
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