GéométrieObjet géométrique · Glossaire
angle solide
L'angle solide est la mesure de la partie d'espace délimitée par un cône de sommet O. Il est défini par le rapport S(R)/R², où S(R) est l'aire de la calotte sphérique de rayon R découpée par ce cône sur une sphère centrée en O. Ce rapport est indépendant de R par raison d'homothétie. L'unité d'angle solide dans le Système international est le stéradian (sr). L'angle solide total de la sphère entière vaut 4π stéradians.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un cône de sommet O à la calotte qu’il découpe sur une sphère centrée en O.
- Calculer un angle solide avec le rapport S(R)/R² et exprimer le résultat en stéradians.
- Vérifier sur deux rayons que le rapport reste invariant par homothétie.
- Distinguer l’angle solide de l’angle plan et contrôler le repère de 4π sr.
En clair
Imaginez un faisceau conique partant d’un point O et rencontrant un globe centré sur ce point. Le faisceau y dessine une calotte. Plus il s’ouvre, plus cette calotte occupe de place sur le globe. L’angle solide mesure cette ouverture dans les trois dimensions de l’espace.
Sur un globe deux fois plus grand, l’aire interceptée est multipliée par quatre. La division par le carré du rayon efface cet effet d’échelle. Le résultat, exprimé en stéradians, dépend alors seulement de l’ouverture du faisceau.
Définition
Un angle solide mesure la portion d’espace délimitée par un cône de sommet O. Pour effectuer la mesure, on choisit une sphère de rayon strictement positif R, centrée en O. Le cône découpe sur cette sphère une calotte dont l’aire est notée S(R). Si la lettre grecque Ω désigne l’angle solide, alors :
Quand le rayon est multiplié par un facteur, l’homothétie de centre O multiplie l’aire de la calotte par le carré de ce facteur. Le rapport S(R)/R2 reste donc inchangé. Il caractérise l’ouverture du cône, et non la taille de la sphère choisie. Un angle solide de 1 stéradian découpe une aire égale à R2 sur toute sphère ainsi centrée.
Le stéradian, de symbole sr, est l’unité d’angle solide du Système international. La sphère entière rassemble toutes les directions autour de O et représente 4π sr.
De quoi c'est fait
Cinq éléments sont nécessaires. Le sommet O est le point d’où partent les directions observées. Le cône délimite ces directions. Une sphère centrée en O sert de support de mesure. Son rayon R fixe l’échelle. Enfin, la calotte découpée fournit l’aire S(R).
Le centre de la sphère doit coïncider avec le sommet, car les deux objets doivent suivre les mêmes directions issues de O. La calotte dépend du cône et du rayon ; le quotient S(R)/R2 dépend seulement de l’ouverture. L’orientation du dessin, sa couleur et son échelle ne définissent pas l’angle solide. Le sommet, le cône, le rayon et l’aire suffisent à construire la situation et à calculer sa mesure.
Un exemple, pas à pas
Un cône de sommet O découpe une calotte d’aire π m2 sur une sphère centrée en O, de rayon 2 m. Pour contrôler le résultat, le même cône sera ensuite coupé par une sphère de rayon 4 m. Les données initiales sont donc S(2) = π m2 et R = 2 m.
Étape 1. Le carré du premier rayon vaut R2 = 22 = 4 m2.
Étape 2. On divise l’aire de la calotte par ce carré :
Étape 3. L’angle solide vaut π/4 sr, soit environ 0,785 sr.
Étape 4. Le second rayon est deux fois plus grand. Par homothétie, l’aire est multipliée par 22 = 4 et devient S(4) = 4π m2. Deux sphères concentriques rendent visible ce changement d’échelle sans changement d’ouverture.
Contrôle. Avec le rayon 4 m, le quotient vaut 4π/42 = 4π/16 = π/4 sr. Retrouver exactement le premier résultat confirme que l’angle solide ne dépend pas du rayon choisi.
En pratique
Depuis un point O, l’angle solide quantifie la place qu’un objet occupe parmi les directions environnantes. Un angle plan convient si seule une ouverture dans un plan intervient ; le stéradian convient lorsque l’étalement horizontal et vertical compte.
Pour comparer deux ouvertures coniques représentées à des échelles différentes, on les coupe par des sphères centrées sur leur sommet et on calcule S(R)/R2. La comparaison directe des aires est suffisante seulement si les rayons sont égaux.
Pour contrôler une couverture complète autour d’un point, on additionne les angles solides de régions sans recouvrement et on compare leur somme à 4π sr. En présence d’un chevauchement, on isole d’abord l’intersection afin de ne pas la compter deux fois.
À ne pas confondre
Angle solide et angle plan. L’angle plan intercepte un arc sur un cercle et se mesure en radians. L’angle solide intercepte une aire sur une sphère et se mesure en stéradians. Un tour complet vaut 2π radians dans un plan, tandis que toutes les directions de l’espace valent 4π sr.
Cône et angle solide. Le cône délimite une partie de l’espace depuis O ; l’angle solide mesure son ouverture. Dans l’exemple, le même cône coupe des calottes d’aires π m2 et 4π m2, mais conserve la mesure π/4 sr.
Limites et pièges
Le rayon nul est exclu. Pour R = 0, la sphère se réduit au point O et le quotient S(R)/R2 comporte une division par zéro. Il faut choisir un rayon strictement positif.
Une aire seule ne suffit pas. Une calotte d’aire π m2 donne π/4 sr sur une sphère de rayon 2 m, mais π/16 sr sur une sphère de rayon 4 m. Il faut toujours diviser par le carré du rayon correspondant.
Le centre doit rester O. Si la sphère est décalée par rapport au sommet du cône, la surface interceptée n’est plus obtenue par l’homothétie de centre O. Il faut recentrer la sphère avant d’appliquer le rapport.
4π sr représente la sphère entière. Pour une portion d’espace comptée une seule fois, une valeur supérieure à 4π sr révèle un recouvrement ou une erreur. Il faut séparer les régions sans chevauchement et contrôler leur somme.
Pour aller plus loin
cône — Pour préciser la surface qui délimite les directions mesurées depuis le sommet O.
calotte sphérique — Pour étudier la surface dont l’aire intervient dans le calcul de l’angle solide.
homothétie — Pour justifier pourquoi l’aire croît comme le carré du rayon sans modifier l’ouverture.
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