cône

Imaginez un disque posé à plat et un point placé au-dessus de son centre. En reliant ce point à chaque point du bord du disque, les segments tracent une surface en forme de cornet. Leur point commun est le sommet et chacun de ces segments est une génératrice.

La surface forme l'enveloppe du cône. Si l'on y ajoute tout le disque de base et tout ce qui se trouve entre le disque et le sommet, on obtient le solide.

Une surface conique est engendrée par une droite mobile, la génératrice, qui passe toujours par un point fixe appelé sommet et rencontre une courbe plane appelée directrice. Si l'on considère les droites entières, elles se prolongent de part et d'autre du sommet et forment en général deux nappes. Une seule nappe suffit souvent dans les représentations usuelles.

Lorsque la directrice est un cercle et que le sommet appartient à la droite perpendiculaire au plan du cercle passant par son centre, on obtient un cône de révolution. Son axe joint le sommet au centre de la base. Dans un cône droit de rayon de base r, de hauteur h et de longueur de génératrice g, ces longueurs vérifient $g^2=r^2+h^{2}g^2=r^2+h^2$.

Le mot cône nomme aussi un solide. On choisit alors une région plane fermée comme base, puis on réunit le sommet à tous les points de cette région par des segments. Pour une base circulaire de rayon r et une hauteur perpendiculaire h, le volume vaut $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}hV=\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash pi\; r^2h$. Cette formule reste valable pour un cône oblique à base circulaire, à condition que h soit bien la distance perpendiculaire du sommet au plan de base.

Considérons un cône de révolution plein. Son rayon de base mesure 3 cm et sa hauteur perpendiculaire mesure 4 cm. On veut déterminer sa génératrice, son aire latérale et son volume.

1. Dans la section passant par l'axe, le rayon et la hauteur forment les côtés de l'angle droit. Le théorème de Pythagore donne $g=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{c}\mathrm{m}g=\backslash sqrt\{3^2+4^2\}=5\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}$.

2. L'aire latérale est le produit de π, du rayon et de la génératrice : $A_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}}=\pi \times 3\times 5=15\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A\_\{\backslash mathrm\{lat\}\}=\backslash pi\backslash times3\backslash times5=15\backslash pi\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$, soit environ 47,1 cm².

3. Le volume vaut le tiers du produit de l'aire du disque de base par la hauteur : $V=\frac{1}{3}\pi \times 3^2\times 4=12\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}V=\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash pi\backslash times3^2\backslash times4=12\backslash pi\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^3$, soit environ 37,7 cm³.

Le contrôle est refaisable : 3² + 4² = 25 = 5². Les dimensions sont donc cohérentes, et le volume est bien le tiers des 36π cm³ du cylindre ayant la même base et la même hauteur.

Pour estimer la contenance d'un récipient pointu, on mesure le rayon de l'ouverture et la hauteur perpendiculaire jusqu'à la pointe. Le modèle conique convient si les sections parallèles à l'ouverture restent circulaires et si leur rayon varie linéairement avec la hauteur jusqu'à s'annuler à la pointe. Si la pointe est tronquée et que le rayon varie encore linéairement, un tronc de cône est plus fidèle ; sinon, un autre modèle géométrique peut être nécessaire.

Pour fabriquer une enveloppe conique en papier, on utilise le patron de la surface latérale, qui est un secteur de disque dans le cas d'un cône de révolution. Si l'objet possède une base polygonale et des faces planes, le patron d'une pyramide est le bon choix.

En dessin technique, une vue dans un plan contenant l'axe fait apparaître un triangle isocèle. Cette section permet de lire ensemble le rayon, la hauteur et la génératrice, puis de contrôler leurs longueurs par le théorème de Pythagore.

Cône et cylindre. Les génératrices d'un cône se rencontrent au sommet, tandis que celles d'un cylindre sont parallèles. Une boîte de conserve de rayon constant est cylindrique, pas conique.

Cône et pyramide. Un cône à base circulaire possède une surface latérale courbe. Une pyramide a une base polygonale et des faces latérales triangulaires planes ; un tétraèdre est donc une pyramide, pas un cône de révolution.

Cône et conique. Le cône est une surface ou un solide de l'espace. Une conique est une courbe plane obtenue notamment en coupant une surface conique par un plan ; un cercle est une conique, mais n'est pas un cône.

Surface complète ou nappe unique. Une droite génératrice entière traverse le sommet et produit deux nappes opposées. Un dessin qui s'arrête à une base ne montre qu'une nappe ; il faut annoncer cette restriction.

Courbe ou région de base. Relier le sommet aux seuls points d'une courbe fermée produit la surface latérale. Pour obtenir le solide plein, il faut relier le sommet à tous les points de la région plane délimitée par cette courbe.

Cône oblique. Si le sommet n'est pas à l'aplomb du centre d'une base circulaire, les segments allant au bord n'ont pas tous la même longueur. La formule du volume emploie encore la hauteur perpendiculaire, mais la relation $g^2=r^2+h^{2}g^2=r^2+h^2$ ne décrit plus une génératrice unique.

Cas dégénérés. Si la hauteur vaut 0, le volume calculé vaut 0 et l'objet s'aplatit dans le plan de base. Si le rayon circulaire vaut 0, la base se réduit à un point : on n'a plus un solide conique ordinaire.

La fiche conique prolonge l'étude en montrant quelles courbes planes apparaissent lorsqu'un plan coupe une surface conique.