GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Pappus-Guldin
Les théorèmes de Pappus-Guldin calculent une aire ou un volume de révolution en multipliant la mesure de la figure plane par la distance parcourue par son centre de gravité. Si l’axe de rotation, situé dans le plan, ne coupe pas la figure, l’aire engendrée par une courbe vaut sa longueur multipliée par le trajet circulaire de son centre de gravité, et le volume engendré par une région vaut son aire multipliée par le trajet circulaire de son centre de gravité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer le théorème qui calcule une aire de celui qui calcule un volume.
- Identifier la longueur, l’aire et la distance du centre de gravité à utiliser.
- Recalculer l’aire et le volume d’un tore à partir d’un même disque générateur.
- Repérer le contre-cas où l’axe traverse la figure.
En clair
Imaginez un disque en carton placé à côté d’un axe, puis tourné autour de cet axe. Il balaie un solide en forme d’anneau. Pour trouver son volume, il n’est pas nécessaire de le découper en tranches : on suit le centre du disque pendant un tour et on multiplie la distance parcourue par l’aire du disque.
Le même raccourci vaut pour l’aire extérieure : la longueur du cercle qui borde le disque est multipliée par le trajet de son propre centre. Les deux théorèmes de Pappus-Guldin transforment ainsi une rotation en un produit de deux mesures simples.
Définition
Les théorèmes de Pappus-Guldin relient une figure plane, son centre de gravité géométrique et la figure de révolution obtenue autour d’un axe du même plan. Pour une courbe plane de longueur L, dont le centre de gravité est à la distance dC de l’axe, l’aire S de la surface engendrée est :
La quantité 2πdC est la longueur du cercle parcouru par ce centre pendant un tour.
Pour une région plane d’aire A, dont le centre de gravité est à la distance dA de l’axe, le volume V du solide engendré est :
Dans les deux cas, l’axe est contenu dans le plan de la figure et ne coupe pas l’objet générateur. Les centres de gravité sont ceux de la longueur de courbe et de l’aire, supposées de densité uniforme.
Ces résultats figurent déjà dans le livre VII de la Synagoge de Pappus, rédigé au IVe siècle après J.-C. Paul Guldin les a ensuite énoncés dans son traité Centrobaryca seu de centro gravitatis trium specierum quantitatis continuae, publié entre 1635 et 1641.
Le principe
Si un arc de courbe plane de longueur L tourne autour d’un axe de son plan qui ne le coupe pas, alors l’aire S engendrée égale sa longueur multipliée par le trajet circulaire de son centre de gravité, situé à la distance dC de l’axe :
Si une région plane d’aire A tourne autour d’un axe de son plan qui ne la coupe pas, alors le volume V engendré obéit de même à :
La distance dA est celle du centre de gravité de la région à l’axe.
Quand l'utiliser
La figure génératrice doit être plane, et l’axe de rotation doit appartenir à ce même plan. Pour le premier théorème, il faut connaître la longueur de la courbe et le centre de gravité associé à cette longueur. Pour le second, il faut connaître l’aire de la région et le centre de gravité associé à cette aire.
L’axe ne doit pas couper la courbe ou la région dans la forme énoncée ici, et la figure considérée doit rester d’un même côté de l’axe. La longueur, l’aire et le centre de gravité doivent exister ; la distance utilisée est la distance perpendiculaire du centre à l’axe.
Un disque tournant autour d’un de ses diamètres fournit un contre-cas concret : l’axe traverse le disque et son centre parcourt un cercle de longueur nulle, alors que la rotation produit une boule de volume non nul. Il faut alors revenir à un calcul intégral par disques, rondelles ou cylindres.
Un exemple, pas à pas
Un disque de rayon 3 cm tourne autour d’un axe de son plan situé à 5 cm de son centre G. L’axe reste donc à 2 cm du bord le plus proche. La rotation engendre un tore. Le schéma fixe le rayon du disque et le rayon de la trajectoire de G, égal à 5 cm.
1. Le bord du disque est un cercle de longueur . Son centre de gravité est G.
2. Pendant un tour, G décrit un cercle de rayon 5 cm, donc un trajet de longueur .
3. Le premier théorème donne l’aire du tore :
4. L’aire du disque vaut . Le second théorème donne le volume du tore :
Le contrôle des unités distingue bien l’aire, en cm2, du volume, en cm3.
En pratique
Pour un tore, Pappus-Guldin évite de paramétrer toute la surface ou tout le solide. On mesure le rayon du disque générateur et la distance de son centre à l’axe, puis on choisit le théorème de l’aire ou celui du volume.
Pour une région composée de formes simples situées du même côté de l’axe, on peut calculer son aire et son centre de gravité par pondération. Cette voie est préférable à une intégration directe lorsque ces deux données sont déjà accessibles.
Si l’axe traverse la figure ou si son centre de gravité est inconnu, les méthodes par disques, rondelles ou cylindres sont plus sûres. Avant tout calcul, le test décisif consiste donc à regarder la position de l’axe par rapport à toute la figure.
À ne pas confondre
Le centre de gravité de la figure génératrice n’est pas le centre du solide obtenu. Dans l’exemple du tore, G est le centre du disque avant rotation ; il se déplace sur un cercle de rayon 5 cm au lieu de rester sur l’axe.
Le premier théorème calcule une aire à partir d’une longueur de courbe, tandis que le second calcule un volume à partir d’une aire plane. Partir du cercle bordant le disque conduit à 60π2 cm2 ; partir du disque conduit à 90π2 cm3.
Limites et pièges
Axe traversant la figure. La distance du centre ne suffit plus : pour un disque dont l’axe passe par le centre, elle vaut 0, mais le solide engendré n’a pas un volume nul. Il faut employer une intégration adaptée à la géométrie.
Mauvais centre de gravité. Le premier théorème pondère les points par la longueur de la courbe ; le second les pondère par l’aire de la région. Sur une figure non symétrique, remplacer l’un par l’autre change la distance à l’axe et fausse le résultat.
Figure composée. Le centre de plusieurs morceaux n’est pas, en général, la moyenne simple de leurs centres. Il faut pondérer chaque centre par la longueur ou l’aire correspondante. Si des composantes sont placées de part et d’autre de l’axe, on les traite séparément et on vérifie que leurs solides balayés ne se recouvrent pas avant d’additionner.
Pour aller plus loin
Le glossaire consacré au centre de gravité précise le point dont la trajectoire circulaire intervient dans les deux produits de Pappus-Guldin.
La fiche sur le barycentre prolonge le calcul lorsque la figure est décomposée en parties dont les longueurs ou les aires servent de poids.
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