GéométrieObjet géométrique · Glossaire
Pyramide
Une pyramide est un solide géométrique ayant une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un point appelé apex ou sommet. L'aire totale d'une pyramide est la somme de l'aire de la base et des aires des faces latérales. Le volume d'une pyramide est égal à un tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur. La pyramide régulière est celle dont la base est un polygone régulier et dont l'apex est sur l'axe de symétrie de la base.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la base, l'apex, les faces latérales, les arêtes et la hauteur.
- Calculer exactement le volume d'une pyramide à partir de l'aire de base et de la hauteur.
- Distinguer une pyramide d'un prisme, d'un cône et le cas particulier du tétraèdre.
- Éviter de confondre hauteur, arête latérale et hauteur inclinée d'une face.
En clair
Imaginez un carré posé à plat et un point placé au-dessus de son centre. En reliant ce point aux quatre côtés du carré, on obtient quatre triangles : avec le carré, ils enferment une pyramide. Le point commun aux triangles est le sommet, ou apex.
La hauteur ne suit pas une arête inclinée. Elle descend perpendiculairement du sommet jusqu'au plan de la base. Cette distance intervient dans le volume, tandis que l'aire totale réunit la base et toutes les faces triangulaires.
Définition
Une pyramide est un polyèdre construit à partir d'un polygone, appelé base, et d'un point qui n'appartient pas au plan de cette base, appelé sommet ou apex. Chaque côté de la base forme avec le sommet une face latérale triangulaire. Si la base possède n côtés, la pyramide possède n faces latérales, n arêtes latérales et une face de base.
L'aire totale est l'aire de la base augmentée des aires de tous les triangles latéraux. Pour le volume, notons A l'aire de la base et h la distance perpendiculaire du sommet au plan de la base. On a :
Cette formule vaut pour toute pyramide non dégénérée, même lorsque le pied de la hauteur n'est pas au centre de la base. Une pyramide est régulière lorsque sa base est un polygone régulier et que son sommet se trouve sur l'axe perpendiculaire passant par le centre de la base. Ses faces latérales sont alors des triangles isocèles congruents.
De quoi c'est fait
La base est un polygone : son nombre de côtés détermine le nombre de faces latérales. Le sommet, ou apex, est le point commun à toutes ces faces. Chaque face latérale est le triangle formé par un côté de la base et le sommet. Les arêtes latérales relient les sommets de la base à l'apex.
La hauteur est le segment perpendiculaire au plan de la base qui part de l'apex. Elle peut tomber au centre de la base, ailleurs dans la base, ou même à l'extérieur pour une pyramide oblique. Base et apex suffisent à construire les faces ; aire de base et hauteur suffisent à calculer le volume. L'orientation, la couleur et l'échelle du dessin ne définissent pas le solide.
Un exemple, pas à pas
Considérons une pyramide régulière à base carrée. La figure en donne un schéma : le pied de la hauteur coïncide avec le centre du carré. Les données sont un côté de base de 6 cm et une hauteur de 4 cm.
1. L'aire de la base carrée vaut 6 × 6 = 36 cm2.
2. Le produit de l'aire de base par la hauteur vaut 36 × 4 = 144 cm3.
3. Le volume de la pyramide est le tiers de ce produit : 144 ÷ 3 = 48 cm3.
4. Du centre de la base au milieu d'un côté, la distance vaut 6 ÷ 2 = 3 cm. La hauteur inclinée d'une face vaut donc √(42 + 32) = 5 cm.
5. L'aire d'une face triangulaire vaut 6 × 5 ÷ 2 = 15 cm2.
6. L'aire totale vaut 36 + 4 × 15 = 96 cm2.
Les résultats sont donc 48 cm3 pour le volume et 96 cm2 pour l'aire totale. Pour contrôler le volume, le prisme de même base et de même hauteur mesure 36 × 4 = 144 cm3, soit trois fois 48 cm3.
En pratique
Pour calculer un volume, on mesure d'abord l'aire de la base et la hauteur perpendiculaire. Si le solide garde la même section tout le long de sa hauteur, il faut employer la formule du prisme plutôt que celle de la pyramide.
Pour calculer l'aire totale, on additionne la base et chaque triangle latéral. Dans une pyramide régulière, les faces latérales congruentes autorisent un calcul groupé ; sinon, leurs aires doivent être déterminées séparément.
Pour reconnaître le solide dans un dessin, on cherche une base polygonale et des triangles qui convergent tous vers le même sommet. Une base circulaire conduit au cône, même si la silhouette semble voisine.
À ne pas confondre
Trois solides voisins se distinguent par leur base et par la manière dont leurs faces se rejoignent.
Pyramide et prisme
Une pyramide a une base et des faces triangulaires réunies en un sommet. Un prisme possède deux bases polygonales parallèles et congruentes, ainsi que des faces latérales en parallélogrammes reliant leurs côtés correspondants. Deux bases carrées parallèles ne suffisent donc pas, à elles seules, à caractériser un prisme.
Pyramide et cône
La base d'une pyramide est polygonale et ses faces latérales sont planes. La base d'un cône est circulaire et sa surface latérale est courbe. Cette surface est engendrée par les segments qui relient le sommet aux points du cercle bordant le disque de base.
Pyramide et tétraèdre
Un tétraèdre est précisément une pyramide à base triangulaire : ses quatre faces sont des triangles. Toute pyramide à base triangulaire est un tétraèdre, mais une pyramide à base carrée ne l'est pas.
Limites et pièges
La formule du volume reste simple, mais plusieurs raccourcis de lecture conduisent à des erreurs.
Une hauteur n'est pas une arête
Une longueur inclinée dessinée du sommet vers un sommet de la base est une arête latérale, pas la hauteur. Une arête latérale peut toutefois être la hauteur si elle est perpendiculaire au plan de base : le pied de la hauteur coïncide alors avec un sommet de la base, y compris dans une pyramide non dégénérée. Dans les autres cas, il faut chercher ou construire la perpendiculaire au plan.
Le cas charnière h = 0
Si le sommet appartient au plan de la base, la hauteur vaut 0 et la formule donne un volume nul. Les faces n'enferment alors plus un solide tridimensionnel : il s'agit d'un cas dégénéré, à exclure lorsqu'on parle d'une pyramide comme solide.
Le nombre de faces peut être ambigu
L'expression « pyramide à quatre faces » peut compter toutes les faces ou seulement les faces latérales. Il faut préciser le décompte : une base triangulaire donne trois faces latérales et quatre faces au total ; une base carrée en donne quatre et cinq au total.
Pour aller plus loin
La fiche polyèdre replace la pyramide parmi les solides délimités par des faces polygonales.
Le tétraèdre approfondit le cas particulier d'une pyramide dont la base est un triangle.
Le prisme permet de comparer deux solides de même base et de même hauteur, et d'éclairer le facteur un tiers du volume.
Le cône prolonge l'étude vers un solide à base circulaire et surface latérale courbe.
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