coin de cube

Imaginez un cube et choisissez l'un de ses sommets. Trois arêtes du cube partent de ce point, comme les trois directions d'un coin de pièce. Reliez leurs autres extrémités : les quatre points délimitent une petite pyramide à quatre faces.

Cette pyramide est le coin de cube. Ses trois arêtes réunies au sommet choisi ont la même longueur et sont perpendiculaires deux à deux. La face qui leur fait face est un triangle équilatéral.

Un coin de cube est un tétraèdre ABCD extrait d'un cube. Le sommet A est un sommet du cube. Les segments AB, AC et AD sont les trois arêtes du cube issues de A ; ils ont une même longueur, notée a, et sont perpendiculaires deux à deux. Le tétraèdre est donc trirectangle en A.

Les segments BC, CD et DB sont les diagonales de trois faces carrées du cube. Le théorème de Pythagore donne pour chacun la longueur $a\sqrt{2}a\backslash sqrt\{2\}$. La face BCD est donc un triangle équilatéral, tandis que les trois faces qui contiennent A sont des triangles rectangles isocèles.

Ces conditions définissent la forme indépendamment de sa position dans l'espace. Une rotation, une symétrie ou un changement d'échelle ne change pas sa nature. En revanche, trois arêtes simplement égales ne suffisent pas : leur perpendicularité deux à deux est indispensable.

Le sommet A concentre les trois angles droits. Les arêtes AB, AC et AD, de même longueur a, donnent les trois directions perpendiculaires du cube. Elles déterminent entièrement le coin de cube à une isométrie près.

Les faces ABC, ACD et ADB sont trois triangles rectangles isocèles. Leurs hypoténuses BC, CD et DB sont aussi des diagonales de faces du cube. Comme ces trois diagonales ont toutes pour longueur $a\sqrt{2}a\backslash sqrt\{2\}$, elles forment la quatrième face BCD, équilatérale. Cette structure suffit pour calculer longueurs, aires, volume et angles entre les faces. La figure montre ces dépendances pour a = 6 cm.

On considère un coin de cube ABCD dont les trois arêtes AB, AC et AD mesurent 6 cm. Elles sont perpendiculaires deux à deux. On cherche son volume.

1. On prend ABC comme base. C'est un triangle rectangle dont les deux côtés perpendiculaires AB et AC mesurent 6 cm. Son aire vaut donc (6 × 6) ÷ 2 = 18 cm².
2. L'arête AD est perpendiculaire au plan de la face ABC. La hauteur relative à cette base mesure donc 6 cm.
3. Le volume d'une pyramide est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur. Ici, le calcul donne :

Le coin de cube a donc un volume exact de 36 cm³. Pour contrôler, le cube entier mesure 6 × 6 × 6 = 216 cm³ ; 36 cm³ représente bien un sixième de ce volume.

Pour reconnaître un coin de cube dans une figure, partez du sommet commun à trois arêtes égales. Vérifiez ensuite que ces arêtes suivent les trois directions perpendiculaires d'un cube. Une vue en perspective peut masquer les angles droits ; les données de la figure priment sur son apparence.

Pour calculer son volume, choisissez l'une des trois faces rectangles comme base. L'arête restante fournit directement la hauteur. Cette méthode est préférable à l'emploi de la face équilatérale BCD, car elle évite de calculer la distance de A à ce plan.

Pour étudier un angle entre deux faces, placez A à l'origine d'un repère et alignez AB, AC et AD sur les trois axes. Les plans des faces contenant A deviennent alors des plans de coordonnées, ce qui simplifie les calculs.

Un sommet du cube est un point, parfois appelé « coin » dans la langue courante. Le coin de cube étudié ici est au contraire un solide formé de quatre sommets. Dans la question « combien de coins possède un cube ? », le mot désigne généralement ses huit sommets, pas huit tétraèdres découpés.

Un tétraèdre trirectangle quelconque possède aussi trois arêtes perpendiculaires deux à deux au même sommet. Il n'est un coin de cube que si ces trois arêtes sont en plus de même longueur. Par exemple, des longueurs 4 cm, 5 cm et 6 cm donnent un tétraèdre trirectangle, mais pas un coin de cube.

Une perspective dessinée ne conserve pas les angles. Les trois arêtes issues de A peuvent donc sembler obliques sur la page alors qu'elles sont perpendiculaires dans l'espace. Il faut s'appuyer sur le codage ou sur l'appartenance aux trois arêtes d'un même sommet du cube.

Si la longueur commune a vaut 0, les quatre sommets se confondent et le volume est nul : on obtient un cas dégénéré, pas un solide. Pour un coin de cube non dégénéré, il faut donc a > 0.

Les angles droits en A sont les angles plans entre les arêtes AB, AC et AD. Ils ne signifient pas que tous les angles dièdres du tétraèdre valent 90°. Les trois faces contenant A sont deux à deux perpendiculaires, mais les angles formés avec la face BCD demandent un calcul distinct.

Le tétraèdre fournit le cadre général : ses quatre faces triangulaires permettent de situer le coin de cube parmi les pyramides à base triangulaire.