Trirectangle

Imaginez le coin d’une pièce où deux murs rencontrent le plafond. Trois arêtes partent du même point : chacune forme un angle droit avec les deux autres. Ce coin donne l’image d’un trièdre trirectangle.

Le mot « trièdre » indique la présence de trois faces angulaires. « Trirectangle » précise que les trois angles formés par les paires d’arêtes valent 90°. La longueur des arêtes ne change pas cette propriété.

Dans l’espace euclidien, un trièdre est formé par trois demi-droites non coplanaires issues d’un même sommet. Elles déterminent trois faces, chacune étant l’angle plan compris entre deux arêtes. Le trièdre est trirectangle lorsque ces trois angles plans sont droits. Cela revient à demander que les trois directions d’arête soient perpendiculaires deux à deux.

Notons u, v et w des vecteurs non nuls portés par les trois arêtes. Le produit scalaire fournit le critère complet :

Ces égalités portent sur les directions, pas sur les longueurs. Les trois plans de face sont également perpendiculaires deux à deux : les angles dièdres intérieurs valent donc eux aussi 90°. Le dessin en perspective peut déformer les angles apparents ; la perpendicularité se vérifie dans l’espace, par la géométrie ou par les produits scalaires.

Un coin a pour sommet O. Dans un repère orthonormé, ses extrémités sont A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 4 ; 0) et C(0 ; 0 ; 12). Les trois arêtes mesurent donc OA = 3, OB = 4 et OC = 12 unités.

1. Les vecteurs portés par les arêtes sont $\overrightarrow{OA}=(3,0,0)\backslash overrightarrow\{OA\}=(3,0,0)$, $\overrightarrow{OB}=(0,4,0)\backslash overrightarrow\{OB\}=(0,4,0)$ et $\overrightarrow{OC}=(0,0,12)\backslash overrightarrow\{OC\}=(0,0,12)$.

2. On calcule les trois produits scalaires :

3. Chaque paire d’arêtes est perpendiculaire. Le coin est donc un trièdre trirectangle, malgré ses trois longueurs différentes. Pour contrôler le calcul, on peut permuter les deux facteurs de chaque produit scalaire : les trois résultats restent nuls. Le schéma rend visibles les trois paires testées ; les angles dessinés en perspective ne sont pas des mesures sur la page.

Dans une pièce, un coin formé par deux murs et un plafond modélise un trièdre trirectangle si les trois rencontres sont bien à angle droit. Si l’un des murs est incliné, il faut employer un trièdre quelconque.

En géométrie analytique, on choisit trois axes perpendiculaires pour décrire l’espace. Les trois demi-axes positifs issus de l’origine délimitent alors un trièdre trirectangle. Si deux directions ont un produit scalaire non nul, ce modèle orthogonal ne convient pas.

Pour contrôler une construction, on teste les trois paires d’arêtes, et non une seule. Deux angles droits ne garantissent pas le troisième : une arête peut tourner autour de l’autre tout en restant perpendiculaire à celle-ci.

Un triangle rectangle est une figure plane à trois côtés possédant un seul angle droit. Un trièdre trirectangle est un objet de l’espace : trois arêtes partent du même sommet et les trois paires sont perpendiculaires.

Un tétraèdre trirectangle est un solide à quatre faces dont trois arêtes issues d’un sommet sont perpendiculaires deux à deux. Le trièdre ne désigne que le coin angulaire porté par ces directions, sans imposer les quatre faces triangulaires d’un solide fermé.

Un dessin en perspective ne conserve pas nécessairement les angles. Deux arêtes perpendiculaires dans l’espace peuvent sembler obliques sur la page ; il faut lire les marques d’angle droit ou vérifier leurs vecteurs, pas mesurer l’image.

Une arête de longueur nulle ne définit plus une direction. Le critère par produits scalaires exige donc trois vecteurs non nuls ; sinon, le coin est dégénéré et ne forme pas un trièdre trirectangle.

Attention à la relation annoncée dans certaines formulations : ici, chacun des trois angles dièdres vaut 90°, donc la somme des carrés de leurs cosinus vaut exactement $3{\cos }^2({90}^{\circ })=03\backslash cos^2(90^\backslash circ)=0$, et non 1. L’égalité à 1 concerne notamment les cosinus directeurs d’une même direction par rapport à trois axes orthonormés ; elle ne caractérise pas les angles dièdres de ce trièdre.

Le glossaire trièdre précise la structure générale dont le cas trirectangle impose trois angles droits.

La fiche angle dièdre aide à distinguer l’angle entre deux faces de l’angle plan contenu dans une face.

Le théorème de Pythagore replace l’orthogonalité dans son cadre plan avant ses prolongements à la géométrie de l’espace.