théorème de Pythagore

Un triangle possède un angle droit et deux côtés mesurent 3 et 4 unités. Sans mesurer le dernier côté, on peut retrouver sa longueur : on dessine mentalement un carré sur chaque côté. Les deux petits carrés ont pour aires 9 et 16 ; leur somme, 25, est l’aire du carré construit sur le côté le plus long.

Ce côté mesure donc 5 unités. Cette égalité d’aires est l’image géométrique du théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore est un résultat de géométrie euclidienne qui porte sur les triangles rectangles. Dans un tel triangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et aussi le côté le plus long. Si les longueurs des deux côtés de l’angle droit sont notées a et b, et si la longueur de l’hypoténuse est notée c, alors :

Cette égalité signifie aussi que l’aire du carré construit sur l’hypoténuse égale la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés. Un triplet pythagoricien est un triplet d’entiers naturels positifs (a, b, c) qui vérifie cette équation ; (3, 4, 5) en est le plus simple.

Le résultat était connu avant Pythagore : des tablettes mésopotamiennes du XVIII^e siècle avant J.-C. contiennent des triplets pythagoriciens, et sa découverte générale a vraisemblablement eu lieu indépendamment dans plusieurs civilisations. Euclide en donne une démonstration dans les Éléments. Plusieurs centaines de preuves ont depuis été élaborées.

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés adjacents à l’angle droit. En notant a et b ces deux longueurs, et c celle de l’hypoténuse, l’énoncé s’écrit :

La conclusion fournit une longueur inconnue dès que les deux autres sont connues.

Le triangle doit être rectangle dans le plan euclidien. Il faut identifier l’angle droit avant de nommer l’hypoténuse : celle-ci lui fait face. Les trois nombres a, b et c représentent des longueurs exprimées dans la même unité, avec c pour l’hypoténuse. Deux longueurs connues suffisent alors pour calculer la troisième, dont la valeur retenue est positive.

Dans un triangle sans angle droit, l’égalité de Pythagore ne s’applique pas. Pour relier un côté à l’angle opposé dans un triangle quelconque, il faut employer la loi des cosinus. Sur une sphère, par exemple pour de grands triangles tracés sur la Terre, les relations de la géométrie sphérique remplacent aussi cette égalité plane.

Un triangle rectangle a deux côtés de l’angle droit mesurant 3 cm et 4 cm. On cherche la longueur c de son hypoténuse. Le dessin conserve les proportions du triangle 3–4–5 et marque l’angle droit.

1. Les données sont a = 3 cm, b = 4 cm et c est la longueur inconnue opposée à l’angle droit.

2. On applique le théorème :

3. Les carrés valent 9 cm² et 16 cm², donc :

4. Une longueur étant positive, c = 5 cm. Le contrôle est immédiat : 3² + 4² = 5², soit 9 + 16 = 25.

Pour calculer une diagonale de rectangle, on reconnaît un triangle rectangle formé par la longueur, la largeur et la diagonale. Pythagore convient si les deux dimensions perpendiculaires sont connues ; une mesure directe reste préférable si les angles ne sont pas droits.

Pour construire ou contrôler un angle droit, une corde divisée en longueurs 3, 4 et 5 forme un triangle rectangle lorsque ses extrémités se rejoignent. La corde à 13 nœuds, outil ancestral des bâtisseurs, exploite ce triplet pour réaliser cette construction.

Pour vérifier qu’un triangle mesuré est rectangle, on compare le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés. Avec des mesures réelles, on juge leur accord à la précision de l’instrument ; on n’exige pas une égalité décimale parfaite.

Le théorème de Pythagore part d’un angle droit connu pour calculer ou relier des longueurs. Sa réciproque part de trois longueurs vérifiant a² + b² = c², avec c le plus grand côté, pour conclure que le triangle est rectangle.

L’équation de Pythagore étudie les solutions de a² + b² = c², notamment en nombres entiers. Le théorème géométrique, lui, s’applique à toutes les longueurs positives d’un triangle rectangle, pas seulement aux triplets entiers comme (3, 4, 5).

Mauvais côté choisi. L’hypoténuse n’est pas simplement un côté qui paraît long dans la représentation : elle est exactement le côté opposé à l’angle droit. La placer ailleurs produit une équation erronée.

Racine oubliée ou signe impossible. De c² = 25, l’équation algébrique donne 5 et −5, mais une longueur est positive : l’hypoténuse mesure 5. Une valeur nulle donnerait un triangle aplati, pas un triangle rectangle non dégénéré.

Mesures arrondies. Des côtés relevés au millimètre près donnent des carrés eux aussi incertains. Un faible écart entre les deux membres ne prouve donc pas que l’angle diffère de 90° ; il faut comparer l’écart à la précision des mesures.

Géométries non euclidiennes. Sur une sphère ou dans le plan hyperbolique, l’égalité a² + b² = c² n’est pas la loi générale des triangles rectangles. Dans le cadre de la géométrie neutre, le théorème est lié logiquement au postulat des parallèles d’Euclide.

La fiche équation de Pythagore prolonge l’étude vers les solutions entières et les triplets pythagoriciens.

L’article Le théorème de Pythagore… avant Pythagore ! replace le résultat dans son histoire antérieure à son attribution grecque.