équation de Pythagore

Prenez trois segments de longueurs 3, 4 et 5. Les deux plus courts peuvent former les côtés d’un angle droit, car les carrés de leurs longueurs donnent 9 et 16, dont la somme vaut 25, le carré de 5. Le trio 3–4–5 est donc un triplet pythagoricien. L’équation de Pythagore cherche tous les trios d’entiers qui partagent cette propriété, et pas seulement cet exemple familier.

Une équation diophantienne est une équation dont les solutions recherchées sont entières. Dans l’équation de Pythagore, les entiers x et y désignent les deux premières composantes du triplet, et l’entier z la troisième. Ils doivent vérifier la relation $x^2+y^2=z^{2}x^2+y^2=z^2$. Un triplet ordonné (x, y, z) qui la vérifie est appelé triplet pythagoricien.

Lorsque x, y et z sont strictement positifs, ces nombres peuvent être les longueurs des côtés d’un triangle rectangle : x et y sont les cathètes, c’est-à-dire les côtés de l’angle droit, tandis que z est l’hypoténuse. Échanger x et y conserve l’égalité. Multiplier les trois composantes par un même entier produit encore une solution.

L’équation admet aussi des solutions avec zéro ou des entiers négatifs. Elles sont valides algébriquement, mais leurs valeurs signées ne sont pas directement des longueurs d’un triangle non dégénéré.

Quatre éléments structurent une solution. Les entiers x et y jouent des rôles symétriques : leurs carrés sont additionnés. L’entier z est distingué par son carré, placé seul de l’autre côté de l’égalité. La contrainte d’intégralité sépare ce problème arithmétique du simple calcul d’une longueur réelle. Enfin, l’égalité relie les trois composantes : deux d’entre elles déterminent la valeur absolue possible de la troisième, mais cette valeur n’est entière que lorsque leur somme de carrés est un carré parfait.

Pour des composantes positives, cette structure suffit à construire un triangle rectangle à côtés entiers. L’ordre de x et y change l’écriture du triplet, pas la forme du triangle ; une rotation, une couleur ou une échelle de dessin ne fait pas partie de la définition.

On veut vérifier que les longueurs entières 3, 4 et 5 forment bien un triangle rectangle. Les données sont les deux cathètes de longueurs 3 et 4, et le côté opposé à l’angle droit de longueur 5. La figure rend visibles ces trois données et l’angle droit à contrôler.

1. Élever 3 au carré donne 3² = 9.

2. Élever 4 au carré donne 4² = 16.

3. Additionner les deux résultats donne 9 + 16 = 25.

4. Élever 5 au carré donne aussi 5² = 25.

Les deux membres sont égaux : $3^2+4^2=5^{2}3^2+4^2=5^2$. Le triplet (3, 4, 5) est donc pythagoricien, et le triangle est rectangle. Pour refaire le contrôle, on peut compter 9 et 16 unités carrées sur les carrés des cathètes : leur total de 25 égale l’aire du carré de côté 5.

Pour contrôler trois longueurs entières, on place la plus grande dans le rôle de z, puis on compare son carré à la somme des carrés des deux autres. Avec 3, 4 et 5, l’égalité est exacte : le triangle est rectangle. Si l’égalité échoue, le théorème de Pythagore ne permet pas de le déclarer rectangle.

Pour produire une nouvelle solution à partir d’une solution connue, on multiplie ses trois composantes par le même entier. Ainsi, doubler (3, 4, 5) donne (6, 8, 10). Cette méthode conserve la forme du triangle, mais elle ne fournit que des agrandissements du triplet initial.

Pour savoir si une solution positive est primitive, on cherche un diviseur commun aux trois composantes. Le triplet (3, 4, 5) est primitif, car aucun entier supérieur à 1 ne divise simultanément 3, 4 et 5 ; (6, 8, 10) ne l’est pas.

Équation de Pythagore et théorème de Pythagore. Le théorème porte sur tout triangle rectangle et autorise des longueurs réelles. L’équation diophantienne impose des composantes entières. Un triangle rectangle de cathètes 1 et 1 relève du théorème, mais sa longueur d’hypoténuse √2 ne forme pas un triplet pythagoricien entier.

Triplet pythagoricien et trois entiers quelconques. Trois entiers ne suffisent pas : l’un de leurs carrés doit égaler la somme des deux autres. Le triplet (3, 4, 6) échoue, car 3² + 4² = 25 tandis que 6² = 36.

Triplet pythagoricien et triplet primitif. Un triplet primitif est une solution dont les trois composantes positives n’ont pas de diviseur commun supérieur à 1. Ainsi, (3, 4, 5) est primitif, alors que (6, 8, 10) reste pythagoricien sans être primitif.

Zéro produit un cas dégénéré. Le triplet (0, 5, 5) vérifie bien 0² + 5² = 5². Il ne décrit pourtant pas un triangle non dégénéré, car un côté a une longueur nulle. Pour l’interprétation géométrique habituelle, il faut exiger trois longueurs strictement positives.

Les signes ne changent pas les carrés. Le triplet (−3, 4, 5) est une solution entière de l’équation, mais −3 n’est pas une longueur. On prend les valeurs absolues avant de donner une interprétation géométrique, puis on vérifie qu’aucune n’est nulle.

La plus grande valeur doit occuper la place de l’hypoténuse. Dans un triplet positif, z est nécessairement supérieur à x et à y. Écrire (5, 4, 3) dans cet ordre fait échouer l’équation, même si les mêmes trois longueurs peuvent être réordonnées en (3, 4, 5).

Une mesure physique n’est pas un entier exact. Des longueurs relevées comme 3,0 cm, 4,0 cm et 5,0 cm ont une incertitude instrumentale. On compare alors les deux membres avec la précision des mesures ; une égalité numérique affichée après arrondi ne prouve pas à elle seule que l’objet est exactement rectangle.

L’article Les triplets pythagoriciens prolonge l’exemple 3–4–5 en étudiant la recherche et l’organisation des solutions entières.

La fiche équation diophantienne replace cette relation dans la famille des équations dont les solutions sont cherchées parmi les entiers.

La fiche Hypoténuse précise le rôle du côté opposé à l’angle droit dans l’interprétation géométrique d’un triplet positif.

L’article Le théorème de Pythagore… avant Pythagore ! ouvre une perspective historique sur la relation géométrique associée à ces triplets.