brique d'Euler

Imaginez une boîte rectangulaire dont les trois arêtes mesurent 44, 117 et 240 unités. Tracez une diagonale sur chacune des trois sortes de faces : leurs longueurs sont exactement 125, 244 et 267 unités. Toutes ces mesures sont des nombres entiers. Cette boîte est une brique d'Euler. La diagonale qui traverse son intérieur vaut toutefois environ 270,601 unités : elle n'est pas entière.

Une brique d'Euler est un parallélépipède rectangle dont les trois longueurs d'arêtes sont des entiers strictement positifs et dont les diagonales des trois types de faces sont aussi entières. Notons a, b et c les longueurs d'arêtes, puis d_ab, d_ac et d_bc les diagonales correspondantes. Les six nombres satisfont le système suivant :

Ces égalités relèvent des équations diophantiennes, car on cherche des solutions entières. La grande diagonale, qui joint deux sommets opposés dans l'espace, a pour carré $D^2=a^2+b^2+c^{2}D^2=a^2+b^2+c^2$. Elle n'a pas à être entière pour définir une brique d'Euler. Si elle l'est aussi, l'objet est appelé « boîte parfaite » ; l'existence d'une telle boîte reste un problème ouvert.

On rencontre la brique d'Euler dans un dessin de pavé droit, une maquette de boîte ou un problème mêlant géométrie et nombres entiers. Quatre marqueurs la signalent : trois directions d'arêtes perpendiculaires, des faces rectangulaires, des longueurs d'arêtes entières et une diagonale entière sur chaque type de face. Le dessin porte ainsi deux informations à la fois : la forme d'un parallélépipède rectangle et trois relations de Pythagore entre nombres entiers.

La grandeur à contrôler est la longueur de chaque diagonale de face, exprimée dans la même unité que les arêtes.

1. Relevez les trois longueurs d'arêtes et vérifiez qu'elles sont des entiers strictement positifs.
2. Formez les trois paires d'arêtes qui bordent une face : a avec b, a avec c, puis b avec c.
3. Pour chaque paire, additionnez les carrés. La somme doit être le carré exact d'un entier.
4. Calculez séparément la somme des trois carrés seulement si vous voulez tester la grande diagonale.

Une perspective peut faire paraître deux segments égaux ou masquer une diagonale. Le dessin ne suffit donc pas : les longueurs données et le théorème de Pythagore décident. Une valeur décimale très proche d'un entier ne remplace jamais un carré parfait exact.

Testons une boîte rectangulaire en contrôlant successivement ses trois types de faces, puis sa diagonale intérieure. La figure rassemble les mêmes longueurs et rend visibles les trois diagonales de faces obtenues.

Données.
Les arêtes mesurent 44, 117 et 240 unités.
Les trois longueurs sont des entiers strictement positifs.

Étape 1. Sur la face de côtés 44 et 117 : ${44}^2+{117}^2=1936+13689=15625={125}^{2}44^2+117^2=1\backslash ,936+13\backslash ,689=15\backslash ,625=125^2$. Sa diagonale mesure exactement 125 unités.

Étape 2. Sur la face de côtés 44 et 240 : ${44}^2+{240}^2=1936+57600=59536={244}^{2}44^2+240^2=1\backslash ,936+57\backslash ,600=59\backslash ,536=244^2$. Sa diagonale mesure exactement 244 unités.

Étape 3. Sur la face de côtés 117 et 240 : ${117}^2+{240}^2=13689+57600=71289={267}^{2}117^2+240^2=13\backslash ,689+57\backslash ,600=71\backslash ,289=267^2$. Sa diagonale mesure exactement 267 unités.

Contrôle final. La grande diagonale vérifie $D^2={44}^2+{117}^2+{240}^2=73225D^2=44^2+117^2+240^2=73\backslash ,225$. Comme 270² = 72 900 et 271² = 73 441, elle n'est pas entière ; D ≈ 270,601 unités. La boîte est donc une brique d'Euler, mais pas une boîte parfaite.

Pour vérifier un candidat, on calcule les trois sommes de deux carrés. Dès qu'une somme n'est pas un carré parfait, on écarte la boîte ; ce critère exact est préférable à une mesure sur un dessin en perspective.

Pour construire des candidats, on cherche trois paires d'arêtes formant chacune un triplet pythagoricien. Un seul triplet construit un rectangle à diagonale entière ; il faut que les trois paires partagent les mêmes longueurs pour obtenir une brique d'Euler.

Pour tester la condition plus forte de la boîte parfaite, on ajoute les carrés des trois arêtes. Si cette somme n'est pas un carré parfait, on conserve le statut de brique d'Euler sans conclure à une boîte parfaite.

Un parallélépipède rectangle à arêtes entières. Les arêtes entières ne suffisent pas. Une boîte de côtés 1, 1 et 1 a des diagonales de faces de longueur √2 : elle n'est pas une brique d'Euler.

Une boîte parfaite. Celle-ci doit posséder, en plus des six longueurs entières exigées pour une brique d'Euler, une grande diagonale entière. La boîte 44 × 117 × 240 tranche : ses diagonales de faces sont entières, mais sa grande diagonale ne l'est pas.

Trois tests sont nécessaires. Deux faces réussies ne garantissent pas la troisième. Le symptôme est une somme de deux carrés qui n'est pas un carré parfait ; il faut contrôler les trois paires d'arêtes.

Une longueur nulle dégénère la boîte. Même si certaines égalités entières subsistent avec une arête égale à 0, on n'obtient plus un parallélépipède rectangle tridimensionnel. Les trois arêtes doivent être strictement positives.

Multiplier les dimensions ne change pas le verdict. Un facteur entier conserve des diagonales de faces entières, mais il ne rend pas entière une grande diagonale qui ne l'était pas. Il faut tester la somme des trois carrés, pas seulement changer l'échelle.

Un arrondi ne prouve rien. Dans l'exemple, environ 270,601 n'est pas 271. Le cas charnière se lit entre 270² = 72 900 et 271² = 73 441 ; seule l'égalité exacte à un carré entier conviendrait. L'existence d'une boîte parfaite reste un problème ouvert.

Le triplet pythagoricien éclaire chaque face : deux arêtes et sa diagonale forment trois entiers liés par le théorème de Pythagore.

L'équation diophantienne replace la recherche dans son cadre arithmétique : les inconnues et les solutions demandées sont entières.

Le théorème de Pythagore fournit le calcul commun aux trois faces et à la grande diagonale.