problème des nombres gelés de Saint-Exupéry

Le 15 juillet 1944, Saint-Exupéry propose au colonel Max Gelée d’imaginer une grande boîte rectangulaire remplie exactement de cubes de 1 cm d’arête. Dans la lecture usuelle du pavage, face contre face, ses trois dimensions sont donc des nombres entiers de centimètres. La hauteur doit mesurer autant que la diagonale du fond de la boîte.

Cette contrainte transforme les deux côtés de la base et la hauteur en triplet pythagoricien. L’aire imposée vaut 311 850 fois un nombre premier inconnu. Le jeu consiste à retrouver ce nombre et les dimensions compatibles ; surprise, deux hauteurs conviennent.

Le problème des nombres gelés est une énigme arithmétique fondée sur un pavage cubique et un triangle rectangle. Dans l’interprétation usuelle où les cubes sont disposés face contre face, appelons a et b les longueurs entières, en centimètres, des côtés de la base ; appelons h la hauteur entière et p le nombre premier inconnu. Comme h est aussi la diagonale de la base, les données imposent simultanément :

La première relation fait de (a, b, h) un triplet pythagoricien. Après division par le plus grand diviseur commun d des trois longueurs, sa partie primitive s’écrit, à l’ordre des deux côtés près, avec deux entiers m et n premiers entre eux, de parités différentes et tels que m > n :

La seconde relation et la décomposition 311 850 = 2 × 3⁴ × 5² × 7 × 11 ramènent alors la recherche à un nombre fini de répartitions de facteurs. Elles imposent p = 2 et donnent deux bases, à permutation près : 756 cm sur 825 cm, de hauteur 1 119 cm ; ou 540 cm sur 1 155 cm, de hauteur 1 275 cm. L’énoncé ne détermine donc pas une hauteur unique.

Données. L’aire de base est 311 850p cm², où p est premier. Les côtés a et b et la hauteur h sont des entiers positifs. La hauteur est la diagonale de la base.

1. En remplaçant a et b par leur paramétrisation, la contrainte d’aire devient 2d²mn(m − n)(m + n) = 311 850p, soit d²mn(m − n)(m + n) = 155 925p. Pour organiser le tri, on examine les répartitions de facteurs premiers compatibles avec cette égalité entre d², m, n, m − n et m + n ; pour chaque répartition, on reconstitue m et n à partir de m + n et m − n, puis on ne garde que m > n, m et n premiers entre eux et de parités différentes, avec un quotient p premier. Cette règle couvre toutes les répartitions admissibles, car chaque candidat fournit exactement ces cinq facteurs. Par exemple, (m, n) = (7, 18) est écarté par m > n : il ne ferait que répéter le cas (18, 7). Deux répartitions passent ces filtres : (d, m, n) = (3, 18, 7) et (15, 9, 2). Dans les deux cas, d²mn(m − n)(m + n) = 311 850 ; on obtient donc p = 2 et l’aire cherchée vaut 623 700 cm².

2. Une première répartition correspond aux paramètres d = 3, m = 18 et n = 7. Elle donne a = 756 cm et b = 825 cm. Le produit se contrôle directement : 756 × 825 = 623 700.

3. Le théorème de Pythagore donne la première hauteur :Elle vaut exactement 1 119 cm.

4. Une autre répartition correspond à d = 15, m = 9 et n = 2. Elle donne a = 540 cm et b = 1 155 cm. Ici encore, 540 × 1 155 = 623 700.

5. Le second contrôle pythagoricien est :La seconde hauteur vaut exactement 1 275 cm. Les deux bases ont donc la bonne aire et une diagonale entière : les deux réponses satisfont toutes les données.

Pour traduire l’objet en arithmétique, on commence par nommer les trois dimensions entières. La diagonale de la base devient l’hypoténuse d’un triangle rectangle, donc la condition géométrique devient a² + b² = h².

Pour chercher les dimensions sans tester tous les rectangles, on paramètre les triplets pythagoriciens puis on compare leur produit ab à la factorisation de 311 850p. Un balayage brut des longueurs serait possible, mais la répartition des facteurs réduit la recherche à des candidats finis et contrôlables.

Pour valider un candidat, deux tests indépendants sont nécessaires : le produit des côtés doit donner l’aire imposée, et la somme de leurs carrés doit être le carré de la hauteur. Dans ce problème, conserver tous les candidats validés empêche d’oublier la seconde solution.

Diagonale de la base et diagonale du parallélépipède. La hauteur égale la diagonale du rectangle de base, de longueur √(a² + b²). La grande diagonale reliant deux sommets opposés du solide aurait pour longueur √(a² + b² + h²) ; ce n’est pas la grandeur demandée.

Problème des nombres gelés et triplet pythagoricien. Un triplet pythagoricien satisfait seulement a² + b² = h². Le problème de Saint-Exupéry ajoute la contrainte d’aire ab = 311 850p avec p premier ; le triplet (3, 4, 5), par exemple, ne satisfait pas cette contrainte.

La réponse n’est pas unique. Trouver 1 119 cm ne termine pas la recherche : 1 275 cm satisfait aussi toutes les contraintes. Le symptôme du piège est une conclusion tirée dès le premier candidat ; il faut achever l’examen des répartitions de facteurs.

Permuter les côtés ne crée pas une solution. Les bases 756 × 825 et 825 × 756 décrivent le même rectangle tourné. On compte les solutions à l’ordre des côtés près, faute de quoi chacune serait artificiellement doublée.

Le pavage se lit face contre face. La résolution usuelle suppose les cubes d’arête 1 cm alignés sur le parallélépipède ; les dimensions comptent alors des arêtes et sont entières. Sans cette convention, l’intégralité ne découle pas de la seule phrase et le modèle diophantien devrait être justifié autrement.

La primalité de p est une condition, pas un détail. Le facteur inconnu n’est pas un entier positif quelconque. Si une répartition conduit à un facteur composé, elle doit être rejetée même si elle fournit une diagonale entière. Ici, le facteur admissible est le cas charnière p = 2, seul nombre premier pair.

triplet pythagoricien présente la structure arithmétique qui relie les deux côtés de la base à sa diagonale entière.

théorème de Pythagore détaille l’égalité utilisée pour contrôler exactement les deux hauteurs.

Factorisation explique l’outil qui transforme la contrainte d’aire en un nombre fini de répartitions à examiner.

Les triplets pythagoriciens prolonge la recherche des triangles rectangles à côtés entiers au-delà des deux cas de l’énigme.