triplet pythagoricien

Prenons trois baguettes longues de 3, 4 et 5 unités. Elles peuvent former un triangle rectangle : les deux côtés courts se rencontrent à angle droit. Les trois longueurs entières constituent le triplet pythagoricien (3, 4, 5).

Le test compare les carrés des longueurs : 3² + 4² donne 5². En doublant toutes les baguettes, on obtient (6, 8, 10), qui garde la même propriété, mais n'est plus primitif.

Un triplet pythagoricien est formé de trois entiers naturels non nuls. Les deux premiers, notés x et y, jouent le rôle des côtés de l'angle droit ; le troisième, noté z, celui de l'hypoténuse. Ils vérifient $x^2+y^2=z^{2}x^2+y^2=z^2$. Un triangle rectangle dont les côtés ont ces longueurs est un triangle pythagoricien.

Le triplet est primitif lorsque x, y et z n'ont aucun diviseur commun supérieur à 1. Dans ce cas, x et y sont de parités différentes : l'un est pair et l'autre impair. Tout multiple commun d'un triplet reste pythagoricien ; par exemple, (6, 8, 10) provient de (3, 4, 5), mais n'est pas primitif.

Tous les triplets primitifs s'obtiennent avec deux entiers non nuls p et q tels que p > q, sans diviseur commun autre que 1 et de parités différentes. En échangeant au besoin x et y, les trois termes sont donnés par $x=p^2-q^2,y=2pq,z=p^2+q^{2}x=p^2-q^2,\backslash \; y=2pq,\backslash \; z=p^2+q^2$. Avec p = 2 et q = 1, on retrouve (3, 4, 5).

On veut vérifier que des côtés de 3, 4 et 5 unités forment un triangle pythagoricien, puis retrouver ces longueurs par le paramétrage. Les données sont les trois longueurs 3, 4 et 5, ainsi que les paramètres p = 2 et q = 1.

1. On élève les deux petites longueurs au carré : 3² = 9 et 4² = 16.
2. On additionne les résultats : 9 + 16 = 25.
3. On contrôle l'hypoténuse : 5² = 25. L'égalité est vérifiée.

4. On applique ensuite les trois expressions avec p = 2 et q = 1 : $p^2-q^2=3,2pq=4,p^2+q^2=5p^2-q^2=3,\backslash quad\; 2pq=4,\backslash quad\; p^2+q^2=5$.

Le résultat est donc le triplet (3, 4, 5), correspondant à un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5 unités. Comme le seul diviseur commun aux trois nombres est 1, ce triplet est primitif.

Le contrôle peut être refait sans le paramétrage : il suffit de vérifier que la somme des carrés des deux plus petites longueurs égale le carré de la plus grande.

Pour tester trois longueurs entières, on place la plus grande en position d'hypoténuse. On compare ensuite son carré à la somme des carrés des deux autres. L'égalité confirme un triangle rectangle ; son absence écarte ce diagnostic.

Pour chercher des triplets sans essayer toutes les listes d'entiers, on choisit deux paramètres p et q satisfaisant les conditions de coprimalité et de parité. Les trois expressions donnent alors directement un triplet primitif.

Pour savoir si un triplet connu est primitif, on cherche un diviseur commun à ses trois termes. (3, 4, 5) est primitif, tandis que (6, 8, 10) se réduit en divisant chaque terme par 2.

Un triangle pythagoricien n'est pas n'importe quel triangle rectangle. Ses trois longueurs doivent être des entiers naturels non nuls. Le triangle de côtés 3, 4 et 5 est pythagoricien ; un triangle rectangle dont une longueur n'est pas entière ne fournit pas un triplet d'entiers.

La relation seule ne prouve pas qu'un triplet est primitif. (6, 8, 10) vérifie bien 6² + 8² = 10², mais ses trois termes sont divisibles par 2. Il faut donc calculer leur diviseur commun.

Le paramétrage primitif exige toutes ses hypothèses. Si p et q ont la même parité, les trois termes obtenus ont un facteur commun ; s'ils partagent déjà un diviseur, le résultat n'est pas primitif. Il faut choisir p et q premiers entre eux et de parités différentes.

Les valeurs nulles sont exclues. Prendre p = q donnerait p² − q² = 0 : la première longueur ne formerait plus un triangle. La condition p > q garantit une longueur strictement positive.

Dans un triplet primitif, les deux petites longueurs ne peuvent pas être toutes deux impaires ni toutes deux paires. Si un triplet annoncé comme primitif présente cette parité commune, il faut reprendre le contrôle arithmétique.

Le paramétrage transforme une question géométrique en problème arithmétique : au lieu de chercher trois côtés, on étudie deux entiers p et q, leur diviseur commun et leur parité. Cette réduction explique pourquoi les triplets primitifs suffisent : tous leurs multiples donnent ensuite une infinité de triplets non primitifs.

L'histoire remonte bien avant Pythagore. La tablette Plimpton 322, datée approximativement du XVIIIe siècle avant J.-C., contient un tableau cunéiforme interprété comme une collection de triplets pythagoriciens.