ArithmétiqueNotion · Glossaire
tablette Plimpton 322
Plimpton 322 est une tablette d’argile babylonienne portant un tableau de nombres en numération sexagésimale. Ces nombres peuvent être interprétés comme liés à des triplets pythagoriciens, c’est-à-dire des entiers positifs a, b et c tels que a² + b² = c², avec c pour longueur de l’hypoténuse, ce qui éclaire des méthodes anciennes de calcul sur les triangles rectangles. Une partie manquante empêche toutefois de déterminer avec certitude l’usage de la tablette.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la nature, la datation approximative et l’organisation de Plimpton 322.
- Vérifier sur 3, 4 et 5 la relation d’un triplet pythagoricien.
- Distinguer le contenu observable de la tablette des hypothèses sur son usage.
En clair
Imaginez un petit morceau d’argile couvert de signes disposés en lignes et en colonnes. Plimpton 322 conserve ainsi quinze lignes de nombres écrits selon la numération babylonienne, fondée sur soixante. Certains de ces nombres peuvent être reliés aux longueurs de triangles rectangles, comme le triplet 3, 4 et 5.
Cette lecture éclaire le contenu mathématique de la tablette, mais pas avec certitude son usage d’origine, car une partie de l’objet manque.
Définition
Plimpton 322 est une tablette d’argile babylonienne d’environ 12,7 cm sur 8,8 cm et 2 cm d’épaisseur. Datée d’environ 1800 avant J.-C., elle est conservée à l’université Columbia sous le numéro 322 de la collection G. A. Plimpton. Son tableau comporte quatre colonnes et quinze lignes de nombres en numération sexagésimale babylonienne.
Une interprétation mathématique relie ces valeurs à des triplets pythagoriciens. Un tel triplet est formé de trois entiers positifs, notés a, b et c, qui vérifient l’égalité suivante : . Les deux premiers nombres peuvent alors représenter les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, et c son hypoténuse. Dire que les valeurs sont « liées » à ces triplets ne signifie pas que les quatre colonnes recopient simplement a, b et c.
Une partie de la tablette manque. Cette lacune empêche de fixer définitivement sa destination : les hypothèses mentionnées sont une table de calcul arithmétique, un ancêtre de table trigonométrique ou un recueil d’exercices scolaires.
Un exemple, pas à pas
Prenons le triplet 3, 4 et 5 pour voir la relation mathématique associée à la tablette. Il s’agit d’un exemple de contrôle, pas de la transcription d’une de ses lignes.
Données : deux entiers, 3 et 4, pour les côtés de l’angle droit ; un entier, 5, proposé pour l’hypoténuse.
Données : deux entiers, 3 et 4, pour les côtés de l’angle droit ; un entier, 5, proposé pour l’hypoténuse.
1. Élevons le premier entier au carré : 3² = 9.
2. Élevons le deuxième entier au carré : 4² = 16.
3. Additionnons les deux résultats : 9 + 16 = 25.
4. Calculons le carré du troisième entier : 5² = 25.
Les deux résultats sont égaux, donc . Les trois entiers forment bien un triplet pythagoricien. Le contrôle est refaisable en recalculant séparément les trois carrés ; aucune unité n’intervient ici, car on vérifie une relation entre entiers.
En pratique
Pour lire la tablette, on commence par repérer ses quatre colonnes et ses quinze lignes, puis on traite les signes comme des nombres sexagésimaux. Une lecture décimale directe serait inadaptée dès que la valeur dépend des positions fondées sur soixante.
Pour tester la piste des triplets pythagoriciens, on recherche entre les valeurs une relation du type . Si cette égalité ne peut pas être établie, il faut conserver la lecture arithmétique sans forcer l’interprétation géométrique.
Pour discuter l’usage historique de l’objet, on compare ce que chaque hypothèse explique dans l’organisation du tableau. La lacune impose toutefois de présenter table de calcul, table trigonométrique et exercices scolaires comme des possibilités concurrentes, non comme un verdict.
À ne pas confondre
La tablette et un triplet pythagoricien. Plimpton 322 est un objet matériel portant un tableau de nombres ; un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers positifs a, b et c vérifiant , avec c pour hypoténuse. Le groupe 3, 4, 5 est un triplet, mais ce n’est pas la tablette.
Plimpton 322 et le théorème de Pythagore. Le théorème énonce une relation valable pour les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. La tablette est une trace historique dont des valeurs peuvent être interprétées à l’aide de cette relation.
Table de nombres et table trigonométrique. La présence de colonnes numériques est observable ; leur fonction trigonométrique reste une hypothèse. L’aspect tabulaire ne suffit donc pas à trancher l’usage de l’objet.
Limites et pièges
La lacune matérielle. Une partie de la tablette est manquante. Des signes ou une organisation attendue peuvent donc être absents ; il faut signaler cette perte au lieu de compléter le tableau par supposition.
Quinze lignes ne prouvent pas une destination. Le tableau conservé présente quinze lignes et quatre colonnes, mais cette structure observable ne départage pas à elle seule les trois usages proposés par les chercheurs.
Une relation n’est pas une transcription littérale. Les valeurs peuvent être liées à des triplets pythagoriciens sans que chaque ligne se réduise aux trois nombres a, b et c. Il faut vérifier la relation numérique avant de nommer un triplet.
La date reste approximative. « Environ 1800 avant J.-C. » situe l’objet sans fixer une année certaine. Il faut conserver cette approximation et ne pas transformer la datation en valeur exacte.
Illustrations
Pour aller plus loin
Le triplet pythagoricien précise la relation entière utilisée pour contrôler l’exemple 3–4–5.
Le théorème de Pythagore replace cette égalité dans la géométrie des triangles rectangles.
L’arithmétique situe les calculs sur les entiers parmi les grands domaines des mathématiques.
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