équation diophantienne

Imaginez deux compteurs qui n'acceptent que des nombres entiers, positifs, nuls ou négatifs. On cherche à les régler pour que 18 fois le premier nombre, plus 30 fois le second, donne 6. Les réglages 2 et −1 conviennent, car 18 × 2 + 30 × (−1) = 6.

C'est le geste propre à une équation diophantienne : l'égalité ne suffit pas, les valeurs cherchées doivent appartenir aux entiers. Cette contrainte transforme souvent un calcul algébrique familier en problème d'arithmétique.

Une équation diophantienne est une égalité algébrique dont les coefficients sont entiers et dont les inconnues sont recherchées dans l'ensemble des entiers. Elle peut comporter une ou plusieurs inconnues. Ce domaine imposé fait partie du problème : une solution réelle ou rationnelle non entière n'est pas une solution diophantienne.

Dans le cas linéaire à deux inconnues, les entiers a et b sont les coefficients, l'entier c est le second membre, et les entiers x et y sont les inconnues. Si a et b ne sont pas tous deux nuls, l'équation et son critère d'existence s'écrivent :

Ce critère est le théorème de Bachet-Bézout. Lorsque a et b ne sont pas tous deux nuls et qu'une solution particulière est connue, toutes les solutions s'obtiennent en ajoutant un paramètre entier. Pour les équations non linéaires, par exemple xⁿ + yⁿ = zⁿ, la forme de l'énoncé peut rester brève alors que la résolution exige des outils beaucoup plus profonds.

Quatre éléments structurent le problème. Les inconnues sont les nombres à trouver. Les coefficients entiers fixent la manière dont elles interviennent. L'égalité algébrique relie ces quantités. Enfin, le domaine des entiers impose le filtre décisif sur les solutions.

La forme de l'égalité détermine les outils disponibles : pour ax + by = c, le pgcd des coefficients a et b décide de l'existence de solutions. Le domaine choisi détermine ensuite quelles valeurs sont recevables. Ces données suffisent à poser le problème ; elles ne garantissent ni qu'une solution existe, ni qu'elle soit unique.

Cherchons tous les couples d'entiers qui vérifient 18x + 30y = 6. La figure rend visibles trois solutions de la même famille sur une droite, mais le calcul permet de les obtenir toutes.

Données.
Coefficients : a = 18 et b = 30.
Second membre : c = 6.
Inconnues : les entiers x et y.

Étape 1. L'algorithme d'Euclide donne 30 = 18 + 12, puis 18 = 12 + 6. Le pgcd de 18 et 30 vaut donc 6. Comme 6 divise le second membre 6, des solutions entières existent.

Étape 2. La remontée de l'algorithme donne 6 = 18 − 12 = 2 × 18 − 30. Une solution particulière est donc x = 2 et y = −1.

Étape 3. En notant k un entier quelconque, toutes les solutions sont :

Contrôle. En remplaçant x et y, on obtient 18(2 + 5k) + 30(−1 − 3k) = 36 + 90k − 30 − 90k = 6. Pour k = −1, 0 et 1, on retrouve respectivement les couples (−3, 2), (2, −1) et (7, −4).

Pour une équation linéaire ax + by = c, le premier geste est de calculer le pgcd de a et b. S'il ne divise pas c, on conclut aussitôt qu'il n'existe aucune solution entière ; s'il le divise, l'identité de Bézout fournit une première solution, puis une famille paramétrée.

Pour une équation non linéaire, ce test par le pgcd ne constitue plus une méthode générale. On peut commencer par tester des restes modulo un entier afin d'écarter certaines possibilités ; si aucun obstacle n'apparaît, il faut recourir à des outils adaptés à la forme précise de l'équation.

En cryptologie, certaines constructions s'appuient sur des problèmes arithmétiques portant sur des entiers. La présence d'entiers ne suffit toutefois pas à rendre toute équation diophantienne utile en cryptologie : le choix du problème et sa difficulté effective sont déterminants.

Une équation algébrique ordinaire peut être résolue dans les réels ou les complexes. Le domaine tranche : 2x = 1 admet la solution réelle 1/2, mais aucune solution entière ; considérée sur les entiers, elle n'a donc pas de solution diophantienne.

Une approximation diophantienne cherche à approcher des nombres réels par des rationnels soumis à des contraintes. Elle ne demande pas de résoudre exactement une égalité à inconnues entières. Le mot « diophantien » signale un lien historique et arithmétique, pas l'identité des deux problèmes.

Le critère du pgcd peut conclure à l'impossibilité. Pour 18x + 30y = 5, le pgcd vaut encore 6, mais 6 ne divise pas 5. Chercher plus longtemps des couples ne changera rien : il n'existe aucune solution entière.

Une solution particulière n'est pas toujours la seule. Pour 18x + 30y = 6, le couple (2, −1) ne clôt pas la recherche. Il faut ajouter le paramètre entier k pour décrire toute la famille et éviter de confondre existence et unicité.

Le signe des solutions fait partie des conditions. L'expression « solutions entières » autorise les nombres négatifs et zéro. Si un problème exige des entiers positifs, cette restriction doit être ajoutée, puis la famille obtenue doit être filtrée.

Le cas linéaire ne représente pas toute la théorie. Le critère de Bachet-Bézout résout ax + by = c, mais ne décide pas à lui seul du sort d'une équation comme xⁿ + yⁿ = zⁿ. Il faut identifier la forme de l'équation avant de choisir l'outil.

L'arithmétique replace la divisibilité, le pgcd et les congruences dans le cadre où s'étudient les solutions entières.

L'article Diophante d’Alexandrie, cet inconnu prolonge la fiche par l'histoire du mathématicien auquel ces équations doivent leur nom.