identité de Bézout

Prenons 252 et 198. Leur plus grand diviseur commun est 18. L’identité de Bézout affirme que l’on peut retrouver exactement 18 en multipliant chacun des deux nombres par un entier, puis en additionnant les résultats.

Ici, quatre fois 252 et moins cinq fois 198 donnent 18. Ces deux multiplicateurs, 4 et −5, sont appelés des coefficients de Bézout. L’un peut être négatif : le but n’est pas de compter des objets, mais de former une combinaison exacte.

L’identité de Bézout est un théorème sur les entiers relatifs. On choisit deux entiers non simultanément nuls, notés a et b, et l’on note d leur plus grand commun diviseur, ou PGCD. Le théorème garantit l’existence de deux entiers relatifs, notés u et v, tels que la combinaison de a et b pondérée par ces coefficients soit égale à d.

Lorsque a et b sont non nuls, ils sont premiers entre eux exactement lorsqu’il existe des entiers u et v pour lesquels la même combinaison vaut 1. Les entiers u et v sont des coefficients de Bézout. La première démonstration connue du résultat arithmétique est attribuée à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, au début du XVII^e siècle. Étienne Bézout l’a ensuite généralisé aux polynômes à coefficients dans un corps.

Si a et b sont deux entiers relatifs non simultanément nuls et si d désigne leur PGCD, alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

En particulier, pour deux entiers non nuls, obtenir 1 sous cette forme est un critère nécessaire et suffisant pour affirmer qu’ils sont premiers entre eux.

Dans sa forme arithmétique, l’identité s’applique à deux entiers relatifs non simultanément nuls. Il faut connaître leur PGCD, ou le calculer par l’algorithme d’Euclide. Le résultat obtenu est une paire de coefficients entiers dont la combinaison redonne ce PGCD. Les coefficients peuvent être positifs, nuls ou négatifs.

Le cas particulier donnant 1 se produit exactement lorsque les deux entiers sont premiers entre eux, c’est-à-dire lorsque leur PGCD vaut 1. Avec 6 et 9, toute combinaison 6u + 9v est divisible par 3 : elle ne peut donc pas valoir 1. Il faut alors viser leur PGCD, qui vaut 3, et chercher des coefficients donnant 3. Pour les polynômes, on emploie la généralisation dans un corps, et non l’énoncé arithmétique mot pour mot.

Cherchons une identité de Bézout pour les entiers 252 et 198. Les seules données de départ sont a = 252 et b = 198.

1. L’algorithme d’Euclide produit les divisions successives :
252 = 1 × 198 + 54
198 = 3 × 54 + 36
54 = 1 × 36 + 18
36 = 2 × 18.

2. Le dernier reste non nul est 18. Ainsi, le PGCD de 252 et 198 vaut 18.

3. Remontons les égalités à partir de 18 :
18 = 54 − 36
18 = 54 − (198 − 3 × 54)
18 = 4 × 54 − 198
18 = 4 × (252 − 198) − 198.

4. On obtient $18=4\times 252-5\times 19818=4\backslash times252-5\backslash times198$. Les coefficients 4 et −5 conviennent. Le contrôle est direct : 4 × 252 = 1 008, 5 × 198 = 990 et 1 008 − 990 = 18.

Pour calculer les coefficients, on prolonge l’algorithme d’Euclide en remontant ses divisions. Si seul le PGCD est recherché, l’algorithme ordinaire suffit ; la remontée devient utile quand il faut écrire ce PGCD comme combinaison des deux nombres.

Pour vérifier que deux entiers sont premiers entre eux, on peut chercher une combinaison égale à 1. Si le dernier reste non nul dépasse 1, le critère échoue et ce reste fournit le PGCD à employer.

En arithmétique modulaire, un coefficient de Bézout fournit un inverse lorsque les deux entiers concernés sont premiers entre eux. Cette propriété intervient notamment dans des calculs de cryptographie ; si le PGCD n’est pas 1, il faut constater l’absence d’inverse plutôt que forcer le calcul.

Identité de Bézout et algorithme d’Euclide. L’identité est un résultat d’existence ; l’algorithme est une procédure de calcul. Pour 252 et 198, les divisions donnent le PGCD 18, puis leur remontée fournit les coefficients 4 et −5.

PGCD et coefficients de Bézout. Le PGCD est le nombre 18, tandis que 4 et −5 sont des multiplicateurs permettant de l’obtenir. Le contrôle 4 × 252 − 5 × 198 = 18 sépare immédiatement les deux rôles.

Les coefficients ne sont pas uniques. Trouver 4 et −5 pour 252 et 198 ne signifie pas qu’aucune autre paire ne convient. Il faut vérifier la combinaison obtenue, sans présenter une paire particulière comme la seule solution.

Le signe du PGCD ne suit pas celui des entiers. Le PGCD est pris positif. Des entrées négatives modifient les signes possibles des coefficients, pas la valeur positive visée.

Le couple nul demande une convention. Si un seul entier est nul, par exemple 0 et 198, une combinaison peut donner le PGCD 198. Pour 0 et 0, le PGCD n’est pas défini de façon uniforme selon les conventions ; il faut annoncer la convention choisie avant d’appliquer l’écriture.

Atteindre 1 n’est pas toujours possible. Le seuil décisif est un PGCD égal à 1. Si le PGCD vaut 18, comme pour 252 et 198, aucune combinaison entière ne vaut 1 ; il faut viser 18.

Le PGCD précise le nombre que l’identité doit produire. L’algorithme d’Euclide montre comment le calculer et retrouver des coefficients.

La fiche Premiers entre eux développe le cas où la combinaison vaut 1. L’arithmétique modulaire prolonge ce critère vers le calcul d’inverses.